Arquivo da categoria: Matemática e Raciocínio Lógico

Sentenças Abertas

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SENTENÇAS ABERTAS

  1. Sentenças Abertas

Na matemática ,uma sentença aberta (ou equação aberta) é descrita assim porque seu valor não pode ser determinado até que suas variáveis sejam substituídas por números específicos, quando seu valor geralmente pode ser determinado (e, portanto, a sentença deixa de ser considerada como “aberta”). Essas variáveis podem assumir valores reais ou complexos, dependendo da igualdade ou desigualdade em questão. Os valores que produzem uma igualdade ou desigualdade verdadeira são chamados soluções, e “satisfazem” a igualdade/desigualdade.

a) x + 3 = 10   CONTINUE LENDO

Estatística Descritiva

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A estatística descritiva é um ramo da estatística que aplica várias técnicas para descrever e sumarizar um conjunto de dados. Se diferencia da estatística inferencial, ou estatística indutiva, pelo objetivo: organizar, sumarizar dados ao invés de usar os dados em aprendizado sobre a população. Esse princípio faz da estatística descritiva independente.

Algumas medidas que são normalmente usadas para descrever um conjunto de dados são medidas de tendência central e medidas de variabilidade ou dispersão. Medidas de tendência central incluem média,mediana e moda. Medidas de variabilidade incluem desvio padrão,variância, o valor máximo e mínimo, obliquidade e curtose.

A Estatística descritiva fornece resumos simples sobre a amostra e sobre as observações que foram feitas. Tal resumo pode ser quantitativo ou visual. Esses resumos tanto podem formar a base da descrição inicial dos dados, como parte de uma análise estatística mais extensa, ou eles podem ser suficientes por si mesmos. Leia o resto deste post

múltiplos e divisores de números naturais

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Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma:

Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3.

Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de 2.

Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5.

Múltiplos de um número natural

Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada.

Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2)

2 x 0 = 0
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
2 x 5 = 10
2 x 6 = 12
2 x 7 = 14
2 x 8 = 16
2 x 9 = 18
2 x 10 = 20

É assim sucessivamente.

Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3)

3 x 0 = 0
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27
3 x 10 = 30

É assim sucessivamente.

Portanto, os múltiplo de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, …
E os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …

Observe que os múltiplos do número escolhido obedecem a uma progressão aritmética com razão igual ao múltiplo estabelecido. Nos múltiplos de 2 a razão é 2, nos múltiplos de 3 a razão é 3 e assim sucessivamente. Veja mais exemplos:

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, …
Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, …

Divisores de um número natural

Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto,

12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.
48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48.

Observações importantes:

? O menor divisor natural de um número é sempre o número 1.

? O maior divisor de um número é o próprio número.

? O zero não é divisor de nenhum número.

? Os divisores de um número formam um conjunto finito.

Alguns números têm apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo. Esses números são chamados de primos. Observe os números primos de 1 a 100 destacados no crivo de Eratóstenes: Leia o resto deste post

Relação de Dependências entre Grandezas (Regra de Três simples e composta)

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Regra de Três Simples e Composta

UM POUCO DE HISTÓRIA

Estuda-se em proporção  a relação entre grandezas. Em alguns casos vemos que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, o aumento de uma implica o aumento da outra, em outros, inversamente proporcionais, isto é, o aumento de uma implica a redução da outra. Seja em quaisquer dos casos anteriores, podemos resolver grande parte dos problemas relacionados às grandezas proporcionais utilizando regra de três simples ou composta.
O conhecimento e a utilização de conceitos semelhantes à regra de três são muito antigos, tendo sua provável origem na China antiga, podendo ser observados em tempos muito distantes. Vários problemas envolvendo manipulações muito próximas do que hoje conhecemos como regra de três podem ser vistos no Papiro Rhind, documento confeccionado no Egito há cerca de 3000 anos. Mais recente que o Papiro Rhind, o livro Liber Abaci do matemático italiano Leonardo Fibonacci (1175-1250) revela vários problemas envolvendo a regra de três.
Apesar de sua criação ser tão remota, as aplicações relativas à regra de três são as mais variadas. Tratando da matemática utilitária, podemos dizer que a regra de três é primordial a nossa vida, pois soluciona questões corriqueiras com muita simplicidade e economia de tempo.
Vejam abaixo alguns problemas envolvendo regra de três simples e composta, direta e inversamente proporcionais.
  1. Um quilo (usarei “quilo” simplificadamente para representar quilograma (Kg)) de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães?
  2. Quatro pedreiros constrói uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirá a mesma casa em quanto tempo?
  3. Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas?
  4. Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho?
Ainda neste artigo, em momento oportuno, solucionaremos os problemas propostos acima.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma implica o aumento da outra. Ao dobrarmos uma grandeza, a outra também será dobrada, ao triplicarmos uma, a outra também será triplicada. Em outras palavras, grandezas diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão.
Vejam o exemplo
NÚMERO DE PESSOAS DE CERTA FAMÍLIA
DESPESA SEMANAL COM ALIMENTAÇÃO (R$)
RAZÃO
4
200
1/50
5
250
1/50
Observação: A tabela acima é meramente ilustrativa e supõe que com o ingresso de mais um membro nesta família aumentará proporcionalmente sua despesa semanal.
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, ou seja, quando dobramos uma delas, a outra se reduz a metade; quando triplicamos uma delas, a outra fica reduzida a terça parte, etc.
Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c, respectivamente, quando se tem: x . a = y . b = z . c
Vejam o exemplo
NÚMERO DE OPERÁRIOS DE CERTA OBRA
DIAS GASTOS PARA CONCLUI-LA (DIAS)
RELAÇÃO x.a = y.b
RAZÃO
12
60
12 . 60 = 720
12/6 = 2/1
6
120
60 . 120 =720
60/120 = 1/2
Observação: Notem que 12/6 e 60/120 possuem razões inversas, isto é, 2/1 é o inverso de 1/2.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Quando, em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três valores de um problema e desconhecemos apenas um, poderemos chegar a sua solução utilizando os princípios da regra de três simples. Para isso, basta que multipliquemos os meios entre si e os extremos também entre si. Acompanhem:

Exemplo: os números 6 e 10 são diretamente proporcionais a 12 e x respectivamente. Nessas condições, vamos encontrar o valor de x que torne essa afirmação verdadeira.

Vamos à solução dos problemas (1) e (2) propostos no início deste trabalho.
(1)          Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães?
● Vamos chamar o valor desconhecido de e montar uma tabela contendo os valores.

Inicialmente teremos que analisar se as grandezas quantidade de farinha de trigo número de pães são inversa ou diretamente proporcionais.
  • Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade de pães também duplicará. Se triplicarmos a farinha, os pães também serão triplicados, e assim por diante. Sendo assim, somos levados a concluir que essas duas grandezas são diretamente proporcionais;
  • Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e partir para sua solução;
  • As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são diretamente proporcionais.

Conclusão: para fazer 18 pães precisaremos de 1,5 kg de farinha de trigo.
(2)   Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirão a mesma casa em quanto tempo?
● Vamos chamar o valor desconhecido de e montar uma tabela contendo os valores.

Como no caso anterior, teremos que analisar se as grandezas quantidade de pedreiros dias gastos na construção são inversa ou diretamente proporcionais.
  • Se aumentarmos o número de pedreiros, a duração da obra será reduzida, portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais;
  • Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e partir para sua solução;
  • Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações;
  • As setas contrárias indicam que as grandezas são inversamente proporcionais.

Conclusão: se reduzirmos o número de pedreiro a dois, teremos a obra concluída em 180 dias.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Quando trabalhamos com três grandezas, direta ou inversamente proporcionais e, num determinado problema, existem seis valores, dos quais cinco são conhecidos e apenas um desconhecido, pode-se encontrar o valor da incógnita através da regra de três composta.
Vamos à solução dos problemas (3) e (4) propostos no início deste trabalho.
(3)   Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas?
● Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo os valores:

Analisemos as grandezas a fim de saber se são direta ou inversamente proporcionais entre si.
  • Fixando a grandeza quantidade de homens, vamos relacionar as grandezas tempo de montagem com número de máquinas. Se dobrarmos o tempo de montagem, dobraremos o número de máquinas. Logo, essas duas grandezas são diretamente proporcionais.
  • Fixando a grandeza número de máquinas, vamos relacionar as grandezas quantidade de homens com tempo de montagem. Se dobrarmos o número de homens, teremos reduzido à metade o tempo de montagem. Logo, essas duas grandezas são inversamente proporcionais.
  • Sabendo dessas informações, basta escrevermos a proporção de acordo com a tabela acima;
  • Como temos grandezas inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações;

Conclusão: Com 15 homens, serão construídas 50 máquinas em 20 dias.
(4)   Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho?
● Chamaremos o valor desconhecido de x:

Vamos fazer a análise dos dados contidos na tabela acima.
  • Fixando a grandeza dias de trabalho, vamos relacionar as grandezas número de operários com quantidade de peças. Ao dobrarmos o número de operários, dobraremos também o número de peças fabricadas. Dessa forma, essas duas grandezas são diretamente proporcionais;
  • Fixando a grandeza número de operários e relacionando as grandezas dias de trabalho com quantidade de peças, temos: ao dobrarmos o número de dias de trabalho, dobraremos também a quantidade de peças produzidas, ou seja, estas grandezas também são diretamente proporcionais;
  • Portando esses dados, deveremos escrever a devida proporção de acordo com a tabela acima;
  • Como temos grandezas diretamente proporcionais, manteremos as frações em suas formas originais.

Conclusão: com 7 operários, em 9 dias serão produzidas 840 peças.
Fonte: Info Escola
Vídeo:

 

 

 

 

Expressões Numéricas

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Introdução

Nem todas as dificuldades encontradas na resolução de problemas ou cálculos matemáticos são relativas, pelo menos diretamente, ao assunto em estudo. Em alguns casos, existe uma evidente deficiência na explicação do conteúdo, por parte do professor, em outros falta à atenção adequada para a sua compreensão por parte do aluno. O fato é que para compreender os conteúdos matemáticos, além de ser preciso dedicar o máximo possível de atenção, é também necessário o descomplicamentodo seu ensino, isto é, o professor deverá apresentar o desenvolvimento dos cálculos propostos, mas sempre que for possível, mostrar aos alunos os atalhos primordiais para a agilização de suas soluções.

As expressões numéricas  são altamente necessárias para solucionarmos problemas cotidianos. Através do conhecimentodas operações básicas da matemática, bem como da interpretação dos dados contidos nos problemas, podemos organizar o problema, extrair suas informações principais, convertê-lo a um modelo matemático e, por fim, efetuar os cálculos para a sua resolução.

Neste trabalho, mostrarei apenas as expressões numéricas simples, aquelas que apresentam apenas multiplicação, divisão, adição e subtração.

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Números e grandezas proporcionais: razões e proporções

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nova-centralAo final da postagens coloquei algumas videoaulas que complementarão bem esta matéria.

Introdução: 

Há muitas situações cotidianas, seja na vida cotidiana, na ciência ou negócios que requerem o uso de razões e proporções. Por exemplo, na cozinha, se há a intenção de acrescentar ou diminuir algum ingrediente, as razões e proporções são usadas para determinar isso – “3 ovos para cada suas duas colheres de farinha”.

Não esqueça que agora a Central de Favoritos esta bem melhor e em novo endereço: centraldefavoritos.com.br, com atualizações todos os dias, AGORA FICOU MAIS FÁCIL DE PASSAR EM UM CONCURSO. CLIQUE E VEJA a NOVA CENTRAL DE FAVORITOS.

Pode-se verificar outro uso quando farmacêuticos ministr..CONTINUE LENDO..

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Frações e operações com frações

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Introdução:

O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

    Chamamos:

    seta.gif (248 bytes) de fração;

    seta.gif (248 bytes) a de numerador;

    seta.gif (248 bytes) b de denominador.

    Se a é múltiplo de b, então é um número natural.

    Veja um exemplo: Leia o resto deste post

interpretação de informações de natureza matemática e probabilidade

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Tem muito pouco sobre interpretações de informações de natureza matemática na internet., então coloquei duas videoaulas abaixo que fala um pouco sobre isso e probabilidade. Depois destas videoaulas começa a parte teórica de probabilidades e no final da postagem tem mais uma videoaula. A interpretação de informação de natureza matemática é básica para qualquer solução de problemas. Saber interpretar o que esta pedindo é 90% do problema resolvido. Não esqueça de dar uma olhadinha no meu livro de aventura A Fortaleza do Centro. Coloquei o e-book no Amazon e dá para você ler os 3 primeiros capítulos.

A Fortaleza do Centro

Bons estudos!

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Raciocínio Lógico: Lógica de argumentação

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Raciocínio Lógico: Lógica de argumentação

A lógica é utilizada como uma etapa do pensamento humano há vários séculos e ajuda a compreender e trabalhar o raciocínio. A lógica pode ser dividida de duas formas: a lógica formal e a lógica material. A argumentação é a forma como utilizamos o raciocínio para convencer alguém de alguma coisa. Para argumentar faz-se uso de vários tipos de raciocínio que devem ser baseados em normas sólidas e em argumentos aceitáveis.

A lógica formal preocupa-se com a finalização da coerência interna mesmo que ela pareça absurda. Os computadores funcionam dessa forma, uma vez que eles tem a capacidade de processar apenas as informações que já estavam inseridas em seu contexto e  atestar as informações. No entanto, a lógica material aborda a utilização dessas operações de acordo com a realidade, com o raciocínio certo e o respeito a matéria do objeto em questão. CONTINUE LENDO

 

Raciocínio Lógico: Diagramas lógicos

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Diagramas Lógicos

Os diagramas são utilizados como uma representação gráfica de proposições relacionadas a uma questão de raciocínio lógico. Esse tema é muito cobrado em provas que tenha por matéria raciocínio lógico para concursos, em questões que envolvem o termo “todo”, “algum” e “nenhum”.

Conjunto: Um conjunto constitui-se em um número de objetos ou números com características semelhantes. Podem ser classificados assim:

Conjunto finito: possui uma quantidade determinada de elementos;

Conjunto infinito: como o próprio CONTINUE LENDO