Sequências e Progressões

Padrão

Sequências:

Geralmente quando queremos determinar certos elementos de um conjunto, ordenamos esses elementos seguindo um determinado padrão. Dizemos que esse conjunto corresponde a uma sequencia ou sucessão. Elementos de uma sequencia podem ser de vários tipos. Veremos alguns exemplos propostos  a seguir:

  • A escalação de um time de futebol escritos em ordem alfabética: (Deola, Marcio, Marcos, Kleber, Valdivia,…,Victor).
  • Anos em que aconteceram os jogos pan-americanos no período de 1991 a 2007: (1991, 1995, 1999, 2003, 2007)
  • Sequência dos números primos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, …)

Cada um desses elementos dos conjuntos que chamamos de sequência ou sucessões é denominado termo. Na sequência que anteriormente dizemos ser uma escalação de um time de futebol, Deola é o primeiro termo, Marcio o segundo termo, e assim por diante. De um modo geral , a representação dos termos de uma sequência é dada por uma letra e um índice que indica a posição do termo na sequência.

O primeiro termo da sequência, por exemplo, pode aparecer indicado como A1, O segundo termo por A2, o terceiro termo por A3 e assim sucessivamente. Além dessas definições de sequências indicamos também o n-ésimo termo conhecido também  pela notação definida An. O elemento An (termo geral) pode representar qualquer termo da sequência assim quando formos nos referir por exemplo ao 15° termo da sequência, basta indicarmos por An=A15.

Indicamos também por An qualquer elemento que queremos tomar, pois An é conhecido principalmente por ser um termo de ordem n. A representação de uma sequência dada por definição é : (A1, A2, A3, A4, …, An).

Se uma sequência qualquer possui o último termo dizemos que ela é uma sequência finita. Se essa sequência não possui o último termo, dizemos que é infinita. Veja os exemplos a seguir:

Sequência finitas

Números primos entre 2 e 29 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29); Posição relativa de times de futebol da primeira divisão do futebol brasileiro (1°, 2°, 3°, 4°, 5°, …, 20°).

Sequências infinitas

Números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, …); O conjunto entre todos os números primos (2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …); O conjunto de todos os números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …).

As sequências são os  pré requisitos essenciais para compreendermos o estudo das progressões geométricas e progressões aritméticas, conhecidas usualmente com PA e PG. As progressões são sequências numéricas com algumas propriedades específicas e com alguns tratamentos particulares, a identificação e o conhecimento sobre o assunto de sequências e sucessões é uma ferramenta de grande auxílio no estudo de progressões.

Para definirmos o que é uma sequência dizemos que é todo conjunto de elementos numéricos ou não que são colocados em uma certa ordem.

Fonte: Info Escola

Progressões:

É inevitável falarmos em progressões sem usar o termo sequências numéricas. As sequências estão diretamente ligadas a processos de contagem e o estudo do desenvolvimento dos sistemas de numeração, através dos vários registros de sequências nos principais documentos das civilizações da antiguidade percebemos que o processo matemático é utilizado desde então até os dias atuais sem modificação lógica.

A ideia de sequência e sucessão aparece na vida diária em muitas situações, nas quais podemos utilizar processos mais usuais como a progressão aritmética (PA), e progressão geométrica (PG). Exemplos disso, encontram-se, por exemplo, na sequência dos 3 primeiros meses do ano (janeiro, fevereiro, março); a sequência dos anos, a partir de 1988, nos quais são realizadas as olimpíadas (1988, 1992, 1996, 2000, 2004, 2008 …); a sequência dos dias úteis da semana (segunda, terça, quarta, quinta). Esses exemplos são situações  em que são selecionados elementos de uma sequência, dessa forma, cada elemento  é denominado um termo da sequência ou sucessão, como, por exemplo, na sequência dos dias da semana: 1° termo: Domingo; 2° termo: Segunda, …, 7° termo: Sábado.

Os termos de uma sequência são expressos geralmente por uma lei de formação, ou seja,  podemos obter um termo qualquer da sequência a partir de uma expressão, que relaciona o termo com sua posição, formando uma expressão  que dá origem ao termo geral de uma sequência.

Dessa maneira, podemos gerar uma expressão na qual a posição do termo geral equivalerá à função do número de termos da sequência. Dentro dessa lógica,  temos dois tipos frequentes em nosso cotidiano que se baseia na adição e multiplicação periódicas dos termos.

A progressão aritmética é uma sequência determinada de forma  que, a partir do segundo termo, adiciona-se uma constante k ao termo antecessor. Essa constante é chamada de razão da progressão aritmética, com ela encontramos o termo sucessor. Já a progressão geométrica é uma sequência determinada de forma que, a partir do segundo termo, multiplica-se o anterior por uma constante k, que é a razão da progressão geométrica. De maneira análoga encontra-se o termo sucessor da progressão.

Alguns exemplos de progressões:

Aritméticas

Números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6…); números pares (2,4,6,8,…). Observe que nesses exemplos a razão é igual a 1 e 2 respectivamente.

Geométrica

Sequências (5, 15, 45, 135, …); (2, 10, 50, 250, …). Observe agora que na primeira sequência a razão é igual a 3 e o 1° termo é igual a 5, e na segunda a razão é 5 e seu primeiro termo é 2.

As Progressões são sequências numéricas trabalhadas com suas respectivas propriedades. Quando falamos sobre sequências logo podemos relacionar a algum tipo de progressão, aritmética ou geométrica.

Fonte: Info Escola

Videos:

sequencias:

Progressões:

 

 

 

Sobre Eder Sabino Carlos

Sou formado em Ciências Econômicas e desenvolvi este site para democratizar materiais de estudos de qualidade para concursos públicos e Enem. Hoje sou representante de vendas na área de material de construçãoa na cidade de Vila Velha ES. Gosto de ler livros de aventura e tenho um livro publicado em e-book com o título de A Fortaleza do Centro. Um livro de aventura infanto-juvenil, mas adultos também estão gostando. Você pode baixar o livro no site e aproveite e veja os comentários das pessoas que já o leram.

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