Progressões Geométricas

Padrão

Esta postagem foi desenvolvida da seguinte forma:

1º Artigo retirado do site Infoescola desenvolvido por Lucas Martins

2º Artigo retirado do site Só Matemática ( muito parecido com o anterior )

3º Exercícios resolvidos

4º duas vídeos aulas sobre o assunto

5º Link para outra postagem que havia feito que é interessante dar uma olhada

1º Artigo retirado do site Infoescola desenvolvido por Lucas Martins

As Progressões Geométricas são formadas por uma sequência numérica, onde estes números são definidos (exceto o primeiro) utilizando a constante q, chamada de razão. O próximo número da P.G. é o número atual multiplicado por q. Exemplo:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, …), onde a razão é 2

A razão pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações). Para descobrir qual a razão de uma PG, basta escolher qualquer número da sequência, e dividir pelo número anterior.

Fórmula do termo geral
A sequinte fórmula pode ser utilizada para encontrar qualquer valor de uma sequência em progressão geométrica:

an = a1 . q(n – 1)

onde a é um termo, então a1 refere-se ao primeiro termo. No lugar de n colocamos o número do termo que queremos encontrar. Exemplo:

q = 2
a1 = 5

para descobrir, por exemplo, o termo a12, faremos:
a12 = 5 . 2 (12 – 1)

a12 = 5 . 211

a12 = 5 . 2048 = 10240

As PG’s podem ser divididas em quatro tipos, de acordo com o valor da razão:

Oscilante (q < 0)
Neste tipo de PG, a razão é negativa, o que fará com que a sequência númerica seja composta de números negativos e positivos, se intercalando.

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,…), onde a razão é -2

Crescente (q > 0)
Na PG crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a sequência será formada por números crescentes, como:

(1, 3, 9, 27, 81, …), onde a razão é 3

Constante
Nesta PG, a sequência numérica tem sempre os mesmos números, podendo ter a excessão do primeiro. Para isso, a razão deve ser sempre 0 ou 1:

(4, 0, 0,0,0,0,0,0,0, …) onde a razão é 0
(4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …) onde a razão é 1

Descrescente
As progressões geométricas decrescentes tem a razão sempre positiva e diferente de zero, e os números da sequência são sempre menores do que o número anterior:

(64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, ..) razão = 1/2
(-1, -3, -9, -27, -81, …) onde a razão é 3 (observe que na PG crescente temos um exemplo com a mesma razão, porém o número inicial aqui é negativo, alterando toda a sequência)

2º Artigo retirado do site Só Matemática ( muito parecido com o anterior )

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

     Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,…), q = 2.

Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:

a1   a2 a3 a20 an
a1 a1xq a1xq2 …   a1xq19 a1xqn-1 

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8

A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, … , an , …) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn.q = a1 . q + a2 .q + …. + an-1 . q + an .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
Sn . q = a2 + a3 + … + an + an . q

Observe que a2 + a3 + … + an é igual a Sn – a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn – a1 + an . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,…)
Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

5 – Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + … =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta  x = 50.

3º Exercícios resolvidos


1) O valor positivo de x que torna a sucessão uma PG é(A) (B) 

(C) 

(D) 

(E) 


2) (UFRGS) Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros é 24. Nessa progressão a razão é

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5


3) O valor de x para que a seqüência  seja uma PG é

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E) 


4) O conjunto solução da equação  é

(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
(E) 30


5) A soma dos termos de uma PG é expressa por . A razão da progressão é

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E) 


6) A soma de três números que formam uma PG crescente é 19 e, se subtrairmos 1 do primeiro, sem alterar os outros dois, eles passam a constituir uma PA. A diferença entre a soma dos dois primeiros números e o terceiro é:

(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2


7) A seqüência  é uma progressão geométrica, de termos positivos, cuja razão é

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E) 


8) A soma dos termos da PG (5, 50, …, 500000) é

(A) 222 222
(B) 333 333
(C) 444 444
(D) 555 555
(E) 666 666


9) Ao interpolarmos 5 meios geométricos entre 1458 e 2, encontramos uma PG de razão:

    (A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E) 


10) A razão de uma PG cujo termo geral é  é

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E) 


11) (PUC) De acordo com a disposição dos números abaixo,

exepa12.gif (1430 bytes)

    A soma dos elementos da décima linha vale:

    (A) 2066
(B) 5130
(C) 10330
(D) 20570
(E) 20660


12) (FUVEST) Seja (an) uma progressão geométrica de primeiro termo
a1 = 1 e razão , onde q é um número inteiro maior que 1. Seja (bn) uma progressão 
geométrica cuja razão é q. Sabe-se que a11 = b17. Neste caso:

a) Determine o primeiro termo b1 em função de q.

b) Existe algum valor de n para o qual an = bn?

c) Que condição n e m devem satisfazer para que an = bm?


13) (UERJ) A figura a seguir mostra um molusco Triton tritoris 
sobre uma estrela do mar.

Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, geometricamente, uma seqüência de semicírculos. O esquema abaixo indica quatro desses semicírculos.

Admita que as medidas dos raios  formem uma progressão tal que

Assim, considerando , a soma será equivalente a

(A) 
(B) 
(C) 
(D) 


14) (UFRGS) Numa progressão aritmética de razão 1/2, o primeiro, o sétimo 
e o décimo nono termo formam, nesta ordem, uma progressão geométrica 
cuja soma dos termos é

(A) 17.
(B) 18.
(C) 19.
(D) 20.
(E) 21.


GABARITO
01-D 04-C 07-C 10-A 13-D
02-C 05-B 08-D 11-C
03-C 06-D 09-B 12 –

Para ver a resolução destes exercícios, clique aqui. Mas antes tente resolvê-los você mesmo.

Mais exercícios? Clique Aqui!

4º duas vídeos aulas sobre o assunto

5º Link para outra postagem que havia feito que é interessante dar uma olhada

https://centraldefavoritos.wordpress.com/2011/01/06/progressao-geometrica/

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Sobre Eder Sabino Carlos

Sou formado em Ciências Econômicas e desenvolvi este site para democratizar materiais de estudos de qualidade para concursos públicos e Enem. Hoje sou representante de vendas na área de material de construçãoa na cidade de Vila Velha ES. Gosto de ler livros de aventura e tenho um livro publicado em e-book com o título de A Fortaleza do Centro. Um livro de aventura infanto-juvenil, mas adultos também estão gostando. Você pode baixar o livro no site e aproveite e veja os comentários das pessoas que já o leram.

Uma resposta »

  1. Gostei desta postagem . Eu ja conhecia este método porém é bom que outros possam conhecer também . Muito bom amigo.

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