Equações de 2º Grau

Padrão

Equação do 2º grau

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .

Exemplos:

Equação a b c
x²+2x+1 1 2 1
5x-2x²-1 -2 5 -1


Classificação:

– Incompletas: Se um dos coeficientes ( ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9=0  »  x²=9  »  x= »  x= 

2º caso: c=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9x=0 »  Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0  »  x=0,9

3º caso: b=c=0

2x²=0  »  x=0

Resolução de equações do 2º grau:

A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.

– Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.

Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?

Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:

Multiplicamos os dois membros por 4a:

4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac

Somamos b² aos dois membros:

4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

Fatoramos o lado esquedo e chamamos de  (delta)
b²-4ac:

(2ax+b)²= 

2ax+b=

2ax=-b 

Logo:
 ou   

Fórmula de Bháskara:

Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0

a=3, b=-7 e c=2

 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

Substituindo na fórmula:

 = 

 e   

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0

a=-1, b=4 e c=-4

 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0

Sustituindo na fórmual de Bháskara:

 »  x=2

– Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )

3) 5x²-6x+5=0

a=5 b=-6 c=5

 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64

Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.

Logo:  » vazio

Propriedades:

Duas raízes reais e diferentes
Duas raízes reais e iguais
Nenhuma raiz real

Relações entre coeficientes e raízes

Vamos provar as relações descritas acima:

Dado a equação ax²+bx+c=0, com  e , suas raízes são:

 e    

A soma das raízes será:

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

O produto das raízes será:

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.

Obtendo: 

Substituindo por  e  :

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:

x² – Sx + P = 0

Exemplos:

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² – 4x + 3=0

[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

 

b) 2x² – 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8

 

c) 4-x² = 0

Sendo a=-1, b=0 e c=4:

 

Resolução de equações fracionárias do 2º grau:

Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplos resolvidos:

a)  Onde , pois senão anularia o denominador

[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Então: 

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:

 » 

Aplicando a fórmula de Bháskara:

Logo, x = 2 e x` = 4.  »  S={2,-4}

b )   e 

[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)

Então: 

Eliminando os denominadores:

 »  »    »   

* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:

x=-1  » S={-1}

Resolução de equações literais do 2º grau:

Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.

Equação a b c
x² – (m+n)x + p = 0 1 -(m+n) p

Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x²-3ax+2a²=0

[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:

a=1, b=-3a, c=2a²

 , Logo:

x = 2a  e  x = a  »  S={a,2a}

Resolução de equações biquadradas

Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:

 onde   

Exemplo resolvido:

1) 

Fazendo x² = y , temos 

Substituindo os valores na equação, temos:

y² – 5y + 4 = 0

Aplicando Bháskara:

Logo, y = 4  e y`= 1

Voltando a variável x:

Como y=x², temos:

x²=4  »   e    x²=1  »   

Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente 

Equação do 2º grau 

1) Complete o quadro conforme o exemplo:

Equação Coeficientes
a b c
6x²-3x+1=0 6 -3 1
-3x²=5/2+4x
y²=5y
6x²=0

2) Determine as raízes das seguintes equações:
a) x²-3x+2=0

b) 2y²-14y+12=0

c) -x²+7x-10=0

d) 5x²-x+7=0

e) y²-25=0

f) x²-1/4=0

g) 5x²-10x=0

h) 5+x²=9

i) 7x²-3x=4x+x²

j) z²-8z+12 = 0

2) Determine o valor de k nas equaçoes, de modo que:
a) x² – 12x + k = 0 , tenha duas raízes reais e iguais

b) 2x² – 6x +3k = 0, não tenha raízes reais

c) x² + kx + 4 = 0, tenha raízes reais e iguais

d) kx² – 2(k+1)x + (k+5) = 0, tenha duas raízes reais e diferentes

3) Complete o quadro:
Lembre-se: Soma das raízes de uma equação do 2º grau = -b/a
Produto das raízes de uma equação do 2º grau = c/a

Equação Soma das raízes Produto das raízes
x² – 6x + 9 = 0 6 9
x² – 2x + 3 = 0
2x² + 5x – 8 = 0
x² + 5x -24=0 -5 24
5 -6
-6 -3

4) Dê o conjunto solução das seguintes equações fracionárias:

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

5) Dê o conjunto solução das seguintes equações literais:

a) x² – (a+1) + x = 0

b) x² – (a+m) + am = 0

c) y² – by – 2b³ = 0

d) ax² – (a²+1) + a = 0

e) x² – 3rx + 2r² = 0

6) Dê o conjunto solução das seguintes equações biquadradas:

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

7) Resolução de equações irracionais:

Primeiramente devemos eliminar o radical

Eleve ambos os membros ao quadrado para eliminar o radical

Exemplo:

x – 1 = x² – 6x + 9

x² – 7x +10 = 0

Aplicando a fórmula de Bháskara, encontramos as raízes x=5, x`=2

Verificacão: Substitua os valores das raízes em ambos os membros e verifiquem se a igualdade é satisfeita

Para x=5

1º membro: 

2º membro: x-3 = 5-3 = 2

Como o 1º membro é igual ao 2º membro, x=5 é solução da equação

Para x`=2

1º membro: 

2º membro: x-3 = 2-3 = -1

Como o 1º membro é diferente do 2º membro, x`=2 não é solução da equação

Portanto, V={5}

Nunca esqueçam de fazer a verificação…

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

8) (UFSC)  A soma das raízes da equação x²-28/6 = 7x/2 – x/2 é?

Resposta: 8) 11

Está matéria foi retirada do site Exatas

 

Se você quiser praticar mais exercícios veja o artigo do professor Joaquim Sigaud. Clique Aqui!

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