Equações transcendentais: Trigonométricas

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Equações transcendentais: Trigonométricas

Equações Trigonométricas:

Equações Trigonométricas I

1 – Introdução: as equações elementares

Equação trigonométrica elementar, é qualquer equação da forma 
sen x = sen a
cos x = cos atg x = tg a, onde x é um arco trigonométrico incógnita – a ser determinado – e a um arco trigonométrico qualquer.

Via de regra, qualquer equação trigonométrica não elementar, pode ser transformada numa equação elementar, através do uso das relações trigonométricas usuais.

Nota: os arcos a e a + k.2π onde k é um número inteiro, possuem as mesmas extremidades inicial e final, pois diferem entre si, por um número inteiro de voltas, ou seja:

a + k.2π – a = k.2π

Este resultado é importante e, será utilizado para desenvolvimento do item 1.1 a seguir.

Observação: 2 π= 360º = uma volta completa.

Para a solução das equações trigonométricas elementares, vamos estabelecer as relações fundamentais a seguir:

1.1 – Arcos de mesmo seno

Já sabemos que sen (π– a) = sen a.

Usando o conceito contido na nota acima, sendo x um arco trigonométrico, as soluções gerais da igualdade acima serão da forma:

x = (π – a) + k.2π ou x = a + k.2π.

x = π + 2k.π – a ou x = a + k.2π

x = (2k + 1)π – a ou x = 2kπ + a

Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo
sen x = sen a, será x = (2k + 1)π – a ou x = 2kπ + a.

Exemplo: seja a equação elementar sen x = 0,5.

Como 0,5 = sen 30º = sen π/6, vem, utilizando o resultado geral obtido acima:
sen x = sen π/6, de onde conclui-se:
x = (2k + 1).π – π/6  ou  x = 2kπ + π/6, com k inteiro, que representa a solução genérica da equação dada. Fazendo k variar no conjunto dos números inteiros, obteremos as soluções particulares da equação.
Assim, por exemplo, fazendo k = 0, obteremos por mera substituição na solução genérica encontrada acima,
x = – π/6 ou x = π/6; fazendo k = 1, obteremos
x = 17π/6 ou x = 13π/6, e assim sucessivamente. Observe que a equação dada, possui um número infinito de soluções em R – conjunto dos números reais.

Poderemos escrever o conjunto solução da equação dada na forma geral:

S = {x| xÎR;  x =(2k + 1)π – π/6 ou x = 2kπ + π/6, k Î Z}

Poderemos também listar os elementos do conjunto solução:

S = { …, – π/6, π/6, 17π/6, 13π/6, … }

1.2 – Arcos de mesmo cosseno

Já sabemos que cos (-a) = cos a.
Analogamente ao item 1.1 acima, poderemos escrever para as soluções gerais da igualdade acima:

x = (-a) + 2kπ  ou  x = a + 2kπ, sendo k um número inteiro.

Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo
cos x = cos a, será dada por:
x = 2kp + a  ou   x = 2kp – a, sendo k um inteiro.

1.3 – Arcos de mesma tangente 

Já sabemos que  tg(π + a)= tg a.
Analogamente ao item 1.1 acima, poderemos escrever para as soluções gerais da igualdade acima:
x = (π + a) + 2kπ  ou  x = a + 2kπ
Arrumando convenientemente, podemos escrever:
x = (2k + 1)π + a  ou  x = 2kπ + a, sendo k um número inteiro.

Observando que 2k é um número par e 2k + 1 é um número ímpar, para k inteiro,percebemos que poderemos reunir as duas expressões acima numa única: x = kπ + a.


Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo
tg x = tg a , será dada por  x = kπ + a .

Assim, teremos em resumo:
sen x = sen a … x = (2k + 1)π – a ou x = 2kπ + a

cos x = cos a … x = 2kπ + a  ou   x = 2kπ – a

tg x = tg a … x = kπ + a
sendo k um número inteiro.
Nota: O símbolo … significa: equivale a.

O uso das igualdades acima, permite resolver qualquer equação trigonométrica elementar que possa ser apresentada.


Como qualquer equação trigonométrica pode ser reduzida a uma equação elementar através de transformações trigonométricas convenientes, as igualdades acima são básicas para a resolução de qualquer equação trigonométrica. Este é um aspecto muito importante.

2 – Equações trigonométricas resolvidas

Resolva as seguintes equações trigonométricas:

a) 2cosx – 3secx = 5

Solução:

Lembrando que secx = 1/cosx, vem, por substituição:
2.cosx – 3.(1/cosx) – 5 = 0
2.cosx – 3/cosx – 5 = 0
Multiplicando ambos os membros por cosx ¹ 0, fica:
2.cos2x – 3 – 5.cosx = 0
Arrumando convenientemente, teremos:
2.cos2x – 5.cosx – 3 = 0.

Vamos resolver a equação do segundo grau em cosx. Teremos:



Portanto, cosx = 3  ou  cosx = -1/2.

A equação cosx = 3 não possui solução, já que o cosseno só pode assumir valores de –1 a +1.

Já para a equação cosx = -1/2, teremos:

cosx = -1/2 = cos120º = cos(2π/3)
Logo,
cosx = cos(2π/3)


Do resultado obtido no item 1.2 acima, poderemos escrever as soluções genéricas da equação dada:

x = 2kπ + 2π/3   ou   x = 2kπ – 2π/3
Estas soluções podem ser reunidas na forma:
x = 2kπ ± 2π/3.

Logo, o conjunto solução da equação proposta será:

S = {x | x = 2kπ ± 2π/3, k inteiro}.

b) 5tg2x – 1 = 7 secx
Resposta: x = kπ ou x = kπ + π/4.

c) tgx + cotgx = 2

Solução: 

Substituindo tgx e cotgx pelos seus valores expressos em função de senx e cosx, vem:
senx/cosx + cosx/senx = 2

Efetuando a operação indicada no primeiro membro, vem:
(sen2x + cos2x)/(senx.cosx) = 2
Como sen2x + cos2x = 1, fica:
1/senx.cosx = 2
1 = 2.senx.cosx
1 = sen2x
sen2x = 1 = sen90º = sen(π/2).
sen2x = sen(π/2)
Aplicando o conhecimento obtido no item 1.1, vem:

2x = (2k+1)π – π/2  OU   2x = 2kπ + π/2.
Dividindo ambas as expressões por 2, fica:
x = (2k+1).π/2 – π/4  OU   x = kπ + π/4.
Simplificando a primeira expressão, vem:
x = kπ + π/4  OU   x = kπ + π/4.
Portanto, x = kp + p/4, que é a solução procurada.

d) 4(sen3x – cos3x) = 5(senx – cosx)

Solução: 

Lembrando da identidade:

A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2), poderemos escrever:
4(senx – cosx)(sen2x + senx.cosx + cos2x) = 5(senx – cosx)

Como sen2x + cos2x = 1, vem, substituindo:
4(senx – cosx)(1 + senx.cosx) = 5(senx – cosx)
Simplificando os termos em comum, vem:
4(1 + senx.cosx) = 5
1 + senx.cosx = 5/4
senx.cosx = 5/4 – 1 = 5/4 – 4/4 = 1/4
senx.cosx = 1/4

Multiplicando ambos os membros por 2, fica:
2.senx.cosx = 2(1/4)
2.senx.cosx = 1/2

Como já sabemos da Trigonometria que 2.senx.cosx = sen 2x, vem:
sen2x = 1/2 = sen30º = sen(π/6)
sen2x = sen(π/6)

Aplicando o conhecimento obtido no item 1.1 acima, fica:
2x = (2k+1)π – π/6 OU 2x = 2kπ + π/6
Dividindo ambas as expressões por 2, vem:
x = (2k+1).π/2 – π/12 OU x = kπ + π/12
Simplificando a primeira expressão, fica:
x = kπ + 5π/12 OU x = kπ + π/12, que é a solução procurada.
Portanto,

S = {x | x = kπ + 5π/12 ou x = kπ + π/12, k inteiro}.

e) Resolva a mesma equação anterior, no conjunto universo
U = [0, π/2].

Resposta: S = {5π/12, π/12}.

Nota: basta atribuir valores inteiros a k na solução geral vista no exercício anterior e considerar apenas aqueles resultados compreendidos no intervalo dado [0,π/2].

Existem diversos tipos de equações trigonométricas, sendo impossível abordá-las num único arquivo, motivo pelo qual, prometemos voltar ao assunto. Afirmamos entretanto, que qualquer que seja a equação trigonométrica dada, através de transformações convenientes, sempre recairemos numa equação elementar, dos tipos vistos nos itens 1.1, 1.2 e 1.3 acima.

Equações Trigonométricas II

FUVEST – O conjunto solução da equação

é:

A) {p/2 + kp ; k Î Z}

B) {p/4 + kp ; k Î Z}

C) {kp ; k Î Z}

D) {kp/2; k Î Z}

E) {kp/4 ; k Î Z}

Solução:

Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus obteremos:

-sen2x.senx.senx + sen2x.cosx.cosx = 0

sen2x.cosx.cosx – sen2x.senx.senx = 0

Colocando sen2x em evidencia, vem:

sen2x(cosx.cosx – senx.senx) = 0

sen2x.(cos2x – sen2x) = 0

Lembrando da Trigonometria que cos2x – sen2x = cos2x, vem:

sen2x.cos2x = 0

Deveremos ter então:

sen2x = 0  OU cos2x = 0.

Para resolver equações trigonométricas desse tipo, onde o segundo membro é nulo, poderemos raciocinar da seguinte forma:

O seno de um arco se anula para os arcos da forma kp, onde k é um número inteiro, ou seja, para os arcos: 0, p, 2p, …

Portanto, para que tenhamos sen2x = 0, deveremos ter
2x = kp, de onde vem imediatamente que x = kp/2, com k Î Z.

Analogamente, sabemos que o cosseno de um arco se anula para os arcos da forma kpp/2, onde k é um número inteiro, ou seja, para os arcosp/2, 3p/2, …

Assim, para que tenhamos cos2x = 0, deveremos ter
2x = kpp/2, de onde vem imediatamente que
x = kp/2 + p/4, com k Î Z.

Teremos então, que as soluções procuradas serão:

x =  kp/2 OU  x = kp/2 + p/4, com k Î Z.

Atribuindo valores inteiros a k em ambas soluções, obteremos:
k = 0 Þ x = 0 ou x = p/4
k = 1 Þ x = p/2 ou x = 3p/4
k = 2 Þ x = p ou x = 5p/4
……………………….
……………………….

Resumidamente e ordenadamente, teremos que x assumirá os valores:

…, 0, p/4, p/2, p, 3p/4, 5p/4, …

Observe que estes arcos são da forma kp/4, com k Î Z; portanto, a alternativa correta é a de letra E.

Uma torre sob vários ângulos

O ângulo sob o qual um observador vê uma torre, duplica quando ele se aproxima 110 metros e triplica quando se aproxima mais 50 metros. Pede-se calcular a altura da torre.

Solução
:

Considere a figura abaixo, construída obedecendo os dados do problema, ou seja: o ângulo inicial x, duplica (2x) quando o observador se aproxima 110 m e triplica (3x) quando ele se aproxima mais 50 m.

Se necessário comece revisando Trigonometria.

Observe inicialmente o triângulo ABE. Como o ângulo externo <CBE mede 2x, pelo teorema do
ângulo externo – TAE
os ângulos não adjacentes devem somar 2x. Isto justifica o fato dos ângulos <BAE e <BEA serem congruentes e iguais a x. Então, como os ângulos da base possuem a mesma medida, o triângulo é isósceles, o que justifica o fato de que BE = AB = 110. Observe que o problema só fornece a distância AB. A distância BE foi obtida usando o raciocínio acima.

Pela mesma razão, observando o ângulo externo <DCE de medida 3x, concluímos facilmente que o ângulo <BEC deve medir x, pois 3x = 2x + x.
Só relembrando: o teorema do ângulo externo – TAE – afirma que num triângulo qualquer, cada ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.

Pela simples observação do triângulo retângulo BDE, poderemos escrever:

sen 2x = DE / BE = h / 110 \ h = 110.sen 2x onde h é a altura procurada.

Vamos agora aplicar a lei dos senos ao triângulo BCE. Antes, observe que a medida do ângulo <BCE é igual a 180º – 3x , ou seja, o ângulo oposto ao lado BE é igual a 180º – 3x.

Aplicando a lei dos senos: 50 / sen x = 110 / sen(180 – 3x)

Lembrando que sen(180 – a) = sen a, concluímos que sen(180 – 3x) = sen3x
Logo, a igualdade anterior fica: 50 / senx = 110 / sen3x o que é equivalente a:
50.sen3x = 110.senx

Já sabemos da Trigonometria que sen3x = 3senx – 4sen3x

Substituindo na expressão anterior, vem:
50(3senx – 4sen3x) = 110senx
150senx – 200sen3x = 110senx

150senx – 110senx –200sen3x = 0
40senx – 200sen3x = 0

Colocando senx em evidencia:
senx . (40 – 200sen2x) = 0

Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter
senx = 0 ou 40 – 200sen2x = 0

senx = 0 Þ x = 0, que não satisfaz ao problema pois o ângulo em questão é positivo e menor do que 90º.
Basta visualizar a figura dada para concluir isto.

Teremos então: 40 – 200sen2x = 0 \ 40 = 200sen2x \ sen2x = 40 / 200 = 1 / 5.

Temos pois sen2x = 1/5

Conhecemos sen2x e desejamos conhecer sen2x para usar na igualdade

h = 110.sen2x obtida acima, que resolve a questão.

Existem vários caminhos. Vou escolher um deles, que parece-me mais fácil.

Vamos calcular cos2x e, em seguida, pela Relação Fundamental da Trigonometria,
obter sen2x.

Sabemos que cos2x = 1 – 2sen2x

Substituindo o valor conhecido de sen2x vem:

cos2x = 1 – 2(1/5) = 1 – 2/5 = 5/5 – 2/5 = 3/5

Ora, cos22x + sen22x = 1 (relação fundamental da Trigonometria)
Portanto, substituindo o valor conhecido de cos2x vem:

(3/5)2 + sen22x = 1 e portanto, sen22x = 1 – 9/25 = 25/25 – 9/25 = 16/25

de onde tiramos imediatamente que sen2x = ± 4/5.

Observe que sendo o ângulo x menor do que 90º , somente o valor positivo interessa. Logo,
sen2x = 4/5 e a altura h procurada será então, como vimos acima, igual a
h = 110.sen2x = 110.(4/5) = 440/5 = 88

Portanto, a altura da torre é igual a 88 metros.

Agora resolva este:

No problema anterior, qual a distância do observador ao pé da torre no momento em que o ângulo de visão é o triplo do ângulo inicial, ou seja, qual a medida de CD = y ?

Dica:

Observe na figura que (11050y).tg x = h.
Basta calcular tg x, pois h já é conhecido do problema resolvido acima (h = 88 m).
Resposta: 16 metros

Um Triângulo a FTC de Feira de Santana

Nota: FTC – Faculdade de Tecnologia e Ciências de Feira de Santana – Vestibular 2004.1
Num triângulo ABC, isósceles, de base BC = 6 cm, o ângulo A mede 120º . Se M é o ponto médio de AC, e N, um ponto de BC, tal que BN = (1/3).BC, então MN mede, em cm,
a) Ö 7
b) Ö 13
c) Ö 31
d) Ö (19+ 4Ö 3)
e) Ö (19 – 4Ö 3)

Solução:

Veja a figura acima
Como é dito que o triângulo é isósceles, os ângulos da base possuem a mesma medida ou seja, são congruentes e, portanto, B = C. Pela lei angular de Tales, a soma dos ângulos internos do triângulo vale 180º.
Portanto, A + B + C = 180º. Como B = C, vem:
120 + B + B = 180 de onde conclui-se que B = C = 30º .

Como foi dito que BN = (1/3).BC e BC = 6, vem que BN = (1/3).6 = 2 e portanto,
NC = BC – BN = 6 – 2 = 4.

Como foi dito que M é o ponto médio de AC, podemos dizer que AM = MC = x. Logo,
AC = AM + MC = x + x = 2x

Observe que sendo o triângulo ABC isósceles, conforme dito no enunciado, os lados AB e AC possuem a mesma medida e, portanto, AB = 2x.

Posto isto, aplicando o Teorema dos Cossenos – TC nos triângulos MNC e ABC, vem:

D MNC: MN2 = MC2 + NC2 – 2.MC.NC.cos30º
MN2 = x2 + 42 – 2.x.4.Ö 3 / 2, já que cos 30º = Ö 3 / 2.
Daí, vem: MN2 = x2 + 16 – 4Ö 3 x

D ABC: AB2 = AC2 + BC2 – 2.AC.BC.cos 30º
Como AB = AC = 2x e BC = 6 (dado do problema), vem imediatamente que:
(2x)2 = (2x)2 + 62 – 2.(2x).6. Ö 3 / 2.
4x2 = 4x2 + 36 – 12Ö 3 x Þ 4x2 – 4x2 – 36 + 12Ö 3 x = 0 Þ 12Ö 3 x = 36
Então: x = 36/(12Ö 3) = 3 / Ö 3 = (3.Ö 3) / (Ö 3).(Ö 3) = Ö 3

Como vimos acima que MN2 = x2 + 16 – 4Ö 3 x, vem finalmente, substituindo o valor de x:
MN2 = (Ö 3)2 + 16 – 4Ö 3(Ö 3)
MN2 = 3 + 16 – 4.3 = 19 – 12 = 7 Þ MN2 = 7 Þ MN = Ö 7

Portanto, a alternativa correta é a de letra A.

Agora resolva este:

Qual a área do quadrilátero ABMN do problema anterior?
Resposta: 2Ö 3 cm2
DICA: observe que a área do quadrilátero ABMN será igual à área do triângulo ABC menos a área do triângulo MNC e que a área de um triângulo é igual a metade dos produtos de dois dos seus lados pelo seno do ângulo que eles formam entre si.

Trigonométricamente falando:

Observando os dados da figura abaixo, podemos afirmar que o valor de
4cos2b – Ö3 é igual a :

a) 2
b) 6
c) 8
d) 4
e) 1

Solução:

Inicialmente vamos ler a figura acima:

1) os pontos A, B e C são colineares, ou seja, estão alinhados, o que eqüivale a dizer que pertencem à mesma reta.

2) as retas r e s são perpendiculares, ou seja, formam entre si um ângulo reto = 90º.

Vamos à solução:

No triângulo retângulo BOC acima, é factível escrever:

cos b = OC / BC (igualdade I)

Justificativa: o cosseno do ângulo b é igual ao quociente do cateto adjacente (na figura acima, OC) pela hipotenusa (na figura acima, BC).

Aplicando a lei dos senos ao triângulo AOC, podemos escrever:

AO / sen b = OC / sen 30º (igualdade II)

Da igualdade I, vem que OC = BC . cosb (igualdade III)

Da igualdade II, vem que AO. sen30º = OC . senb (igualdade IV)

Lembrete: se A/B = C/D então A.D = B.C , para A, B, C e D não nulos. Lembram-se quando o seu professor do 1º grau sempre repetia: numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos? Pois, é isto aí!

Substituindo o valor de OC (da igualdade III), na igualdade IV, fica:

AO.sen30º = (BC.cosb).senb

Como foi dito no enunciado que BC = 2.AO vem, substituindo:

AO.sen30º = (2.AO).cosb.senb
Simplificando o termo comum AO, fica:
sen30º = 2.cos
b.senb

Ora, 2.cosb.senb = sen2b (seno do arco duplo) e, portanto:
sen30º=sen2
b

Como no triângulo AOC o ângulo <AOC é maior do que 90º, podemos concluir que
30º +
b é um ângulo menor do que 90ºe , portanto, b é um ângulo agudo. Isto decorre da lei angular de Tales: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
(Tales de Mileto – matemático grego – 624 a. C. – 548 a. C.).

Portanto, podemos concluir que 30º = 2b de onde vem b = 15º.

Nota: o comentário acima justifica-se porque na verdade a equação
sen30º = sen2b possui infinitas soluções em R (conjunto dos números reais).

Mas como 30º e b são ângulos agudos (menores do que 90º), a conclusão de que
2
b = 30º, é correta.

Logo, cosb = cos15º
O problema pede para calcular o valor de 4cos2bÖ3 , ou seja,
como
b = 15º, na verdade teremos que calcular 4cos215º – Ö3.

Teremos que calcular antes, o valor de cos15º.

Ora, cos15º = cos(60º – 45º) pois 60 – 45 =15.

Usando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos, vem:

cos15º = cos(60º-45º) = cos60º.cos45º + sen60º.sen45º

Como já sabemos que:

cos60º = 1/2
cos45º = sen45º =
Ö2/2
sen60º =
Ö3/2

Nota: os valores do seno e cosseno dos arcos ditos notáveis (30, 45 e 60º), vocês devem conhecer de memória, pois nas provas de vestibulares, os examinadores admitem que você os conhece e não informarão, salvo raríssimas exceções.

Logo,
cos15º = (1/2).(Ö2/2) + (Ö3/2).(Ö2/2)
Efetuando as operações indicadas, fica:
cos15º = (
Ö6 + Ö2) / 4

Daí vem: 4.cos15º = Ö6 + Ö2

Elevando ambos os membros ao quadrado, fica:

16.cos215º = 6 + 2 + 2Ö12
Nota: lembre-se que (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Então:

16.cos215º = 8 + 2Ö12 = 2(4 + Ö12)
16.cos215º = 2(4 +
Ö12)
Ora,
Ö12 = (12)1/2 = (4.3)1/2 = 41/2.31/2 = Ö4 . Ö3 = 2Ö3
Portanto,
16.cos215º = 2(4 + 2
Ö3)
Dividindo ambos os membros por 2:
8.cos215º = 4 + 2
Ö3
Colocando 2 em evidencia no segundo membro da igualdade acima:
8.cos215º = 2(2 +
Ö3)
Dividindo ambos os membros por 2:

Este artigo foi retirado do site de Paulo Marques de Feira de Santana BA
4.cos215º = 2 +
Ö3
Então, finalmente, passando
Ö3 para o primeiro membro:
4cos215º –
Ö3 = 2, o que nos leva, tranqüilamente à alternativa A.

Agora resolva este:

Qual o valor do ângulo <AOC na figura do problema resolvido acima, em radianos?
Resposta: 3p/4 radianos
Nota: lembre-se que 180º =
p radianos.


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  1. Eder…muito obrigadooo…este material foi util sim…essa materia eu tenho dificuldades..rs..sou do estado do Espirito Santo.obrigado!!!

  2. Este post me foi muito util,

    agradeço muito a ajuda.

    Eu conclui os meus estudos já faz muito tempo e sempre é bom estar relembrando o que apredeu para não cair no esquecimento.

    Gil Reis

    • Oi Gil, realmente é bom relembrar os estudos, pois mantém a mente ativa. Se for fazer algum concurso, não esquece da gente
      abraços
      eder

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