Probabilidade Básica

Padrão

PROBABILIDADE

INTRODUÇÃO

Em um jogo, dois dados são lançados simultaneamente, somando-se, em seguida, os pontos obtidos na face superior de cada um deles. Ganha quem acertar a soma desses pontos.

Antes de apostar, vamos analisar todos os possíveis resultados que podem ocorrer em cada soma. Indicando os números da face superior dos dados pelo par ordenado (a, b), onde a é o número do primeiro dado e b o número do segundo, temos as seguintes situações possíveis:

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a + b = 2, no caso (1, 1);

a + b = 3, nos casos (1, 2) e (2, 1);

a + b = 4, nos casos (1, 3), (2, 2) e (3,1);

a + b = 5, nos casos (1,4), (2,3), (3, 2) e (4, 1)

a + b = 6, nos casos (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2) e (5, 1);

a + b = 7, nos casos (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4,3), (5, 2) e (6, 1);

a + b = 8, nos casos (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) e (6, 2);

a + b = 9, nos casos (3, 6), (4, 5), (5, 4) e (6,3);

a + b = 10, nos casos (4, 6), (5, 5) e (6, 4);a + b = 11, nos casos (5, 6) e (6,5);

a + b = 12, no caso (6, 6).

É evidente que, antes de lançar os dois dados, não podemos prever o resultado “soma dos pontos obtidos”; porém, nossa chance de vencer será maior se apostarmos em a + b = 7, pois essa soma pode ocorre de seis maneiras diferentes.

Situações como essa, onde podemos estimar as chances de ocorrer um determinado evento, são estudas pela teoria das probabilidades. Essa teoria,criada a partir dos “jogos de azar”, é hoje um instrumento muito valioso eutilizado por profissionais de diversas áreas, tais como economistas,administradores e biólogos.

ESPAÇO AMOSTRAL

Um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nas mesmas condições, é chamado experimento aleatório.

Chamamos Espaço Amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer.No exemplo acima temos, como espaço amostral 36 possibilidades, para aocorrência de quaisquer eventos.

No exemplo de uma moeda lançando-se para cima, a leitura da face superior podeapresentar o resultado “cara” (K) ou “coroa” (C). Trata-se de um experimento aleatório, tendo cada resultado a mesma chance de ocorrer.

Neste caso, indicando o espaço amostral por S1 e por n(S1) o número de seus elementos, temos:

S1 = {K, C} e n(S1) = 2

Se a moeda fosse lançada duas vezes, teríamos os seguintes resultados: (K, K),(K, C), (C, K), (C, C).

Neste caso, indicando o espaço amostral por S2 e por n(S2) o número de seuselementos, temos:

S2 = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)} e n(S2) = 4

Chama-se evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Considerando o lançamento de um dado e a leitura dos pontos da face superior, temos o espaçoamostral:

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6

Um exemplo que podemos elucidar de evento é “ocorrência de número par”. Indicando esse evento por A, temos:

A = {2, 4, 6} e n(A) = 3

PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO

Ainda levando-se em consideração o exemplo acima, “ocorrência de número par”,no lançamento de um dado, teremos:

P(A)=n(A)/n(S)= 3/6 = 1/2

Concluí-se que a probabilidade de o evento “ocorrência de número par” ocorrer é 50% ou ½. Isto quer dizer que ao lançarmos um dado ao acaso teremos 50% de chance de obter um número par, na face do dado.

Voltando ao nosso primeiro exemplo, onde num jogo, ganha quem conseguir asoma das faces. Vimos que a probabilidade de ocorrer o número 7 era maior, poistínhamos diversas maneiras de ocorrer. Chamaremos o evento “ocorrência da soma 7” entre os dois dados, de E:

n(E) = 6;

n(S) = 36.

portanto:

P(E) = n(E)/n(S) =6/36= 1/6

temos então que 16,7% é a probabilidade do evento ocorrer.

Exercícios Resolvidos

R1) Qual a probabilidade do número da placa de um carro ser um número par?

Resolução:Para o número da placa de uma carro ser um número par, devemos ter umnúmero par no algarismo das unidades, logo o espaço amostral (S) e o evento (E)serão:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Þ n(S) = 10

E = {2, 4, 6, 8, 0} Þ  n(E) = 5

Portanto a Probabilidade de ocorrer o referido evento será:

P(E) = n(E)/n(S) =5/10 =1/2

Resposta: 50% ou ½

R2) O número da chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é:

a )1/10

b )1/2

c )4/9

d )5/9

e )1/5

Resolução:

Se a placa de um carro é um número par, então, independente do numero de algarismos que tenha a placa o algarismo das unidades será, necessariamente, um número par.

O espaço amostral, neste caso:

S = {2, 4, 6, 8, 0} Þ  n(S) = 5

O evento é “ocorrência do zero”, logo só podemos ter ocupando o últimoalgarismo o número zero:

E = {0} Þ n(E) = 1

P(E) = n(E)/n(S) = 1/5

Resposta: 20% ou 1/5

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS

Consideremos dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral S.

A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades desses eventos, menos a probabilidade da intersecção de A com B.”

Neste caso, ainda, os eventos são ditos Eventos Independentes.

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