Números complexos

Padrão
Números Complexos:
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2– 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.

 

Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R

Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que: 

z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i … 

Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:

x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z 

Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)
Potências de i
Se, por definição, temos que i = – (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i …… 

Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.

Exemplo:
i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i

Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:

z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci
z1.z2= (ac – bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1 

Conjugado de um número complexo
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z) ==> z= a-bi 

Exemplo:
z=3 – 5i ==> z = 3 + 5i
z = 7i ==> z = – 7i
z = 3 ==> z = 3

Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
z1 / z2 = [z1.z2] / [z2z2] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]

Módulo de um número complexo
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro

Interpretação geométrica
Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira

Forma polar dos números complexos
Da interpretação geométrica, temos que:

que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo. 

Operações na forma polar
Sejam z1=ro1(cos t11) e z2=ro1(cos t1+i sent1). Então, temos que:

a)Multiplicação

Divisão

Potenciação

Radiciação
para n = 0, 1, 2, 3, …, n-1

Exercícios Resolvidos 

1 – Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i
Determine xy de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 – y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

2 – Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2

3 – Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z = 11/58 – 13i/58

4 – Os módulos de z1 = x + 201/2iz2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 – 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5

5 – Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 – i
Para a forma trigonométrica, temos que:
r = (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = – 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2 ( cos 315º + i sen 315º )

Esta matéria foi retirada do site: mundo vestibular
Se você quiser aprofundar mais sobre o assunto e fazer mais alguns exercicios, eu baixei mais este texto que achei muito interessante:
Este texto eu retirei do site Algo sobre
Um pouco de história 

No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.

Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada
de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .

Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i

Potências de i :
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 . i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1
i7 = i6 . i = -i , etc.

Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:

i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).

Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .

NÚMERO COMPLEXO

Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo:
z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária .
Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)
w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)
u = 100i ( a = 0 e b = 100)

NOTAS:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real .
Ex: z = 5 = 5 + 0i .
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, 
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos
.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .

Exercícios Resolvidos:

1) Sendo z = (m2 – 5m + 6) + (m2 – 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.

Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 – 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.

2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .

Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = – 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = – 64 = – 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a-64.

3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 – i)200 .

Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 – i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável
(1 – i)2 = 12 – 2.i + i2 = 1 – 2i -1 = – 2i \ (1 – i)2 = – 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.

CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z .

z = a + bi ® = a – bi
Ex: z = 3 + 5i ;  = 3 – 5i

Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados . Assim é que z = a + bi = (a,b).
Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss.
O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.

DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIA

Regra : Para dividir um número complexo z por outro w ¹ 0 , basta multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador .

Ex:  = 0,8 + 0,1 i

Agora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes exercícios:

1 – Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 – i180

2 – Sendo z = 5i + 3i2 – 2i3 + 4i27 e w = 2i12 – 3i15 ,
calcule Im(z).w + Im(w).z .

3 – UCMG – O número complexo 2z, tal que 5z +  = 12 + 6i é:

4 – UCSal – Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:

5 – UFBA – Sendo a = -4 + 3i , b = 5 – 6i e c = 4 – 3i , o valor de ac+b é:

6 – Mackenzie-SP – O valor da expressão y = i + i2 + i3 + … + i1001 é:

7) Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
Resp: 3
Clique aqui para ver a solução.

8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240
Resp: 1+2i

9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 – 2a.
Resp: 50

10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.
Resp: 32i

11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 – i = 0.

12 – UEFS-92.1 – O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 – i , é:
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 – (3/2)i
e) ½ – (3/2)i

13 -UEFS-93.2 – Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1+2i
b) 1+2i
c) 1 – 2i
d) 3 – 4i
e) 3 + 4i

14 – UEFS-93.2 – Se m – 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10
b) 5 e 10
c) 7 e 9
d) 5 e 9
e) 0 e -9

15 – UEFS-94.1 – A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 – 6i. O módulo de z é:
a) Ö 13
b) Ö 7
c) 13
d) 7
e) 5

16 – FESP/UPE – Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i

17 – UCSal – Sabendo que (1+i)22 = 2i, então o valor da expressão
y = (1+i)48 – (1+i)49 é:
a) 1 + i
b) -1 + i
c) 224 . i
d) 248 . i
e) -224 . i

GABARITO:

1) -3 – i
2) -3 + 18i
3) 4 + 3i
4) 3/2
5) -2 + 18i
6) i
7) 3
8) 1 + 2i
9) 50
10) 32i
11) -1 – i
12) B
13) D
14) A
15) A
16) A
17) E

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