Equações transcendentais: Logarítmicas

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Equações transcendentais: Logarítmicas

No artigo sobre equações exponenciais citamos os dois principais métodos utilizados para resolver este tipo de equação:

  • o de redução a potências de mesma base, e
  • o que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.

O primeiro foi tratado naquele artigo com a colocação de conceitos, exemplos e exercícios resolvidos, em que estes, foram propositalmente selecionados, visando apresentar o uso de técnicas diferenciadas na resolução de equações exponenciais.

O segundo será abordado agora, como já dito, com o intuito de auxiliá-lo a resolver equações do tipo 3x = 7, entre outras, em que não é possível reduzir seus termos a uma potência de mesma base.

Apesar de podermos afirmar com facilidade que x assume um valor entre 1 e 2, pois 3 < 3x = 7 < 9, não sabemos qual é exatamente esse valor e nem o processo para determiná-lo, tomando-se por base os conceitos publicados até aqui no VICHE.

Para isto é necessário acrescentar a seu repertório de conhecimentos a definição e propriedades dos logaritmos.

Definição

Dados a e b números reais e positivos, com a diferente de 1, definimos logaritmo de b na base a, o número x, cuja potência de grau x de a é igual a b. Ou seja:

Definição de Logaritmo

Observações e consequências da definição:

  1. Na expressão a esquerda a é denominado a base do logaritmo, b o logaritmando e x o logaritmo;
  2. Como a e b são ambos positivos e a é diferente de 1, existe um único valor de x que satisfaz a primeira igualdade na expressão acima;
  3. Decorre da definição de logaritmo que loga1 = 0, pois a0 = 1. Em outras palavras, que o logaritmo de 1 em qualquer base é igual 0;
  4. Do mesmo modo, observe que logaa = 1, uma vez que a potência de grau 1 de a é o próprio a. Ou seja, que o logarítmo da base, qualquer que seja a base satisfazendo, claro, as condições da definição, é igual a 1;
  5. Substituindo o valor de x da primeira igualdade na segunda, obtemos que alogab = b;
  6. logab = logac <=> b = c. Decorrência direta da definição (b = alogac) e do fato acima (alogac = c). Traduzindo: dois logaritmos em um mesma base são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais;
  7. Note que de 6. pode-se afirmar, ainda, que em uma igualdade ao se aplicar o logaritmo aos seus membros essa igualdade não se altera;
  8. Ao conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (a > 0 e diferente de 1), denominamos de sistema de logaritmos de base a;
  9. Entre a infinidade de sistemas de logaritmos de base a, dois são particularmente importantes: o sistema de logaritmo decimais ou de base 10 e o sistema de logaritmo neperiano (também chamado de sistema de logaritmos naturais) ou de base e (e = 2,71828…, irracional);
  10. O logaritmo decimal é representado pela notação log10x ou simplesmente log x. E o neperiano por logex ou ln x;
  11. Fato histórico 1: Henry Briggs, Matemático Inglês (1561-1630) foi quem primeiro destacou a vantagem dos logaritmos de base 10, publicando a primeira tabela (ou tábua) de logaritmos de 1 a 1000 em 1617;
  12. Fato histórico 2: O nome neperiano vem de John Neper, Matemático Escocês (1550-1617), autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos. O nome natural é devido ao fato de que no estudo dos fenômenos naturais geralmente aparece uma lei exponencial de base e.

Exemplos:

Exemplos da Definição de Logaritmo

Antilogaritmo

Sejam a e b dois números reais positivos com a diferente de 1. Se o logaritmo de b na base a é igual a x, então b é oantilogaritmo de x na base a. Em símbolos:

Definição de Antilogaritmo

Exemplos:

Exemplos de Antilogaritmo

Propriedades dos Logaritmos

L1. O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual a soma dos logaritmos dos fatores. Isto é:

Propriedade L1

Demonstração:

Fazendo z = loga(b.c) temos, usando a definição de logaritmo, que:

az = b.c

Daqui, obtemos pela observação 5. acima:

az = alogab.alogac => az = alogab+logac => z = logab + logac

Substituindo z na última igualdade fica concluída a demonstração.

Uma outra forma, também simples e similar a anterior, de demonstrar a propriedade L1 é esboçada a seguir. Fazendo:

z = loga(b.c), x = logab e y = logac

vamos provar que z = x + y.

Aplicando a definição de logaritmo nas expressões acima obtemos, respectivamente:

az = bc, ax = b e ay = c

Substituindo b e c na primeira igualdade vem que:

az = axay => az = ax+y => z = x + y

A propriedade L1 é válida para o logaritmo do produto de n fatores (n > 2) reais e positivos, ou seja:

loga(b1.b2. … .bn) = logab1 + logab2 + … + logabn

A prova pode ser feita utilizando-se o método de indução sobre n, que consiste em:

  • demonstrar que é verdadeira para n = 2 – já feita;
  • supor que é válida para n = p > 2 e demonstrar que é verdadeira para n = p + 1.

Deixo para vocês a demonstração com a seguinte dica: agrupar como produto de dois fatores de modo a aplicar L1 e após utilizar a hipótese para n = p.

L2. O logaritmo do quociente de dois números reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor nessa mesma base. Em símbolos:

Propriedade Logaritmos - L2

Demonstração:

De maneira semelhante à adotada na propriedade L1, fazendo z = loga(b/c) obtemos:

Demonstração Propriedade L1 - Logaritmos

Como consequência direta da propriedade L2 temos que:

Corolário Propriedade L2

Cologaritmo

Dados a e b dois números reais positivos, com a diferente de 1, define-se cologaritmo de b na base a ao oposto do logaritmo de b nessa base a. Ou seja:

cologab = -logab = loga(1/b)

L3. O logaritmo da potência de grau x de b em qualquer base a (a, b reais positivos, x real e a diferente de 1) é igual ao produto do expoente x pelo logaritmo de b na base a. Em símbolos:

Propriedade L3 do Logaritmo

Demonstração:

Novamente fazemos uso do procedimento utilizado na demonstração das propriedades anteriores:

Propriedade L3 - Logaritmo

Fica como exercício a demonstração das propriedades L2 e L3 com o uso da segunda técnica adotada para provar a propriedade L1.

Como consequência da propriedade L3 temos que: o logaritmo da raiz de índice n de b na base a é igual ao produto do inverso do índice n pelo logaritmo do radicando na base a, i.e.:

Logaritmo - Corolário Propriedade L3

Observações sobre as Propriedades L1, L2 e L3

  • São válidas somente quando temos expressões logarítmicas que envolvam as operações de multiplicação, divisão e potenciação;
  • Essas propriedades não permitem obter o logaritmo de uma soma ou diferença [loga(b + c) ou loga(b – c)]. Nestes casos, será necessário primeiro obter o valor da soma ou da diferença.

Mudança de Base

É muito comum, e você já deve ter se deparado com o fato, ter expressões ou equações logarítmicas em que seus membros estejam em bases diferentes.

Como na aplicação das propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos em uma mesma base é fundamental saber como isto é feito.

Você deve se lembrar (se não, volte às observações) que no início deste artigo mencionei como importante o sistema de logaritmo decimais ou de base 10, para o qual foi construída, pelo matemático Henry Briggs, uma tábua de logaritmos que possibilita determinar o seu valor para qualquer número real positivo.

Não abordaremos aqui os conceitos de mantissa e característica do logaritmo decimal utilizados para determinar seu valor com o auxílio da tabela. Fica apenas o registro de sua importância no uso das propriedades de mudança de base que apresentamos a seguir.

L4. Dados a, b e c números reais positivos, com a e c diferentes de 1, tem-se que:

Logaritmo -  Propriedade L4

Demonstração:

Fazendo logab = x, logcb = y e logca = z provemos que x = y/z (note que z é diferente de zero, pois por definição a é diferente de 1). De fato:

Demonstração Propriedade L4

Como consequência da propriedade L4 temos:

  1. logab = logcb.logac: a demonstração é feita transformando logcb para a base a no segundo membro da igualdade;
  2. logab = 1/logba: transforme logab para a base b.

Exercícios Resolvidos

1. Resolver a equação 3x = 7 (lembra-se, a do início do artigo):

Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:

log 3x = log 7

Pela propriedade L3:

x.log 3 = log 7 => x = log 7/log 3 = 0,845/0,477 = 1,771

2. Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?

Um uso muito comum das propriedades de logaritmo para resolver equações exponencias é no cálculo de juros compostos cuja fórmula é:

Juros Compostos

onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e t o tempo.

Solução:

Sejam M1 e M2 os montantes correspondentes aos capitais aplicados. Usando a fórmula, temos que:

M1 = 50000(1 + 0,05)t e M2 = 45000(1 + 0,06)t

Temos que determinar o tempo para que M1 = M2. Assim:

Solução Exercício 2

Referência:

  1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

Este artigo foi publicador por Newton de Góes Horta no blog Viche

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  1. As “raizes” soluções aproximadas de uma equação transcentental generica tipo f(x)=o pode ser obtida através de um valor arbitrario em R “percorrer o campo real em busca de diversas raizes” aplicando os novos valores (x) gerados sucessivamente na função R(x) onde x é convenientemente explicitado ; ou seja; x=R(x)…assim x(raiz)=Lim R(R(R(R(R(R(R(…(R(xo))))),,,)))))

    Exemplo: x^5-725x-3020=0……x=(3020+725x)^0.2 p/xo=0…x=4,96593909………

    n x R(x)

    0 0 4,96593909
    1 4,96593909 5,80999302
    2 5,80999302 5,91363649
    3 5,91363649 5,92587403
    4 5,92587403 5,92731230
    5 5,92731230 5,92748125
    6 5,92748125 5,92750110
    7 5,92750110 5,92750343
    8 5,92750343 5,92750370
    9 5,92750370 5,92750373
    . 5,92750373 5,92750374
    . 5,92750374 5,92750374 CONVERGE

    Tomemos x=muito grande
    0 100000000 148,61669
    1 148,6166 10,20662
    2 10,20662 6,36168122
    3 6,361681 5,97764560
    4 5,977646 5,93338161
    5 5,933382 5,92819398
    6 5,928194 5,92758481
    7 5,927585 5,92751326
    8 5,927513 5,92750486
    9 5,927505 5,92750387
    . 5,927504 5,92750375
    . 5,927504 5,92750374 CONVERGE

    Tomemos x=muito grande
    0 -10000000 -93,770787
    1 -93,77078 -9,17348
    2 -9,173484 -5,15228515
    3 -5,152285 -3,72315061
    4 -3,723151 3,17120322
    5 3,171203 5,56119336
    6 5,561193 5,88383927
    7 5,883839 5,92236612
    8 5,922366 5,92690016
    9 5,926900 5,92743284
    . 5,927433 5,92749541
    . 5,927495 5,92750276

    OUTRO EXEMPLO

    2^x+3^x-1000-x^2=0…..x=log(x^2+1000-2^x)/log(3)
    n x R(x) f(x)
    1 6,00000000 6,261860 1012,737481
    2 6,26185951 6,252894 999,524612
    3 6,25289422 6,253238 1000,018155
    4 6,25323764 6,253225 999,999307
    5 6,25322453 6,253225 1000,000026
    6 6,25322503 6,253225 999,999999
    7 6,25322501 6,253225 1000,000000
    8 6,25322502 6,253225 1000,000000
    9 6,25322502 6,253225 1000,000000
    10 6,25322502 6,253225 1000,000000
    11 6,25322502 6,253225 1000,000000
    12 6,25322502 6,253225 1000,000000
    13 6,25322502 6,253225 1000,000000

    Deixo a quem interessar os argumentos da “prova”
    Ass: Romao

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