Equações transcendentais: Exponenciais

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Equações transcendentais: Exponenciais

Equações Exponenciais

INTRODUÇÃO

Seguindo a ordem natural dos artigos sobre Potenciação e Radiciação será abordado agora as equações exponenciais. Antes, será fornecida uma breve noção sobre o conceito e propriedades da função exponencial. Considera-se, também, como pré requisito para o entendimento deste artigo o conceito de função.

 

Com este artigo espero atender aos questionamentos, pertinentes ao assunto, colocados nos comentários dos artigos mencionados acima.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

a) Definição

Dado um número real a, a > 0 e a diferente de 1, definimos função exponencial de base a à função f de R em R que associa a cada x real o número real ax. Simbolicamente:

Definição Função Exponencial

Observações, Propriedades e Exemplos:

  • A função exponencial é definida sómente para base a positiva, uma vez que se a é negativo teríamos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo para a = -2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadrada de -2 (ver a propriedade P7 do artigo sobre Radiciação ), que pertence ao conjunto dos números complexos, contradizendo a definição da função exponencial;
  • A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0;
  • A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1;
  • Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1;
  • Uma função f é dita crescente se dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens correspondentes obedecem a relação f(x1) < f(x2);
  • Uma função f é dita descrescente se x1 < x2 então f(x1) > f(x2);
  • No caso da função exponencial ela é crescente se, e sómente se, a > 1. E descrescente se, e somente se, 0 < a < 1. A demonstração da propriedade não será feita aqui;
  • A função exponencial é injetora, ou seja, dados x1 diferente de x2 então f(x1) é diferente de f(x2). Esta propriedade é decorrência direta da propriedade acima;
  • Como a base a é maior que zero, temos que ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto imagem da função exponencial é o conjunto dos números reais positivos;
  • Da propriedade acima concluí-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x;
  • Exemplos de funções exponenciais:

Exemplos

b) Teoremas

Neste tópico serão apresentados os principais teoremas sobre as funções exponenciais.

T1. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então:

Teorema 1

Não será apresentada a demonstração que depende de outros fatos não tratados aqui.

T2. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, a > 1, então:

Teorema 2

Demonstração:

Demonstração Teorema 2

Daqui, pelo teorema T1 temos:

Demonstração Teorema 2

T3. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:

Teorema 3

Demonstração:

Demonstração Teorema 3

Pelo teorema T1, vem que:

Demonstração Teorema 3

T4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:

Teorema 4

A demonstração deste teorema deixo para o leitor.

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

a) Definição

Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente.

Exemplos:

Exemplos de Equações Exponenciais

Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são:

  • Método de redução a uma base comum;
  • Método que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.

b) Método de redução a uma base comum

Este método, como o próprio nome diz, consiste no uso de técnicas que permitam, através de transformações baseadas nas propriedades de potências, reduzir ambos os membros de uma equação a uma potência de mesma base. É claro que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução.

Como a função exponencial é injetora podemos concluir que:

Método de Redução a uma base comum

ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.

c) Exercícios Resolvidos

Os exercícios foram selecionados visando apresentar técnicas de soluções diferenciadas.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Referência:

  1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

Este artigo foi publicado por Newton de Góes Horta no blog Viche

Coloquei mais um artigo que pode funcionar como um complemento, ou melhor, uma maneira um pouco diferente de explicação e que achei interessante para melhorar seu conhecimento nesta matéria:

Este artigo abaixo eu retirei do site tutor Brasil


Para termos uma equação devemos ter uma igualdade,ou seja, alguma coisa igualada à outra.

E para ser equação exponencial devemos ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente X) colocada no expoente (potência). Para resolvê-las utilizamos métodos que se valem das propriedades que acabamos de estudar.

Não existe uma fórmula mágica para resolução de equações exponenciais, existe um objetivo a ser alcançado. Quando nos deparamos com uma equação exponencial devemos procurar um método de IGUALAR AS BASES de ambos os lados da igualdade. Isso mesmo, o objetivo é esse IGUALAR AS BASES. Veja abaixo vários exemplos resolvidos.

expo1.gif (1014 bytes) Esta é a nossa equação exponencial. Temos uma igualdade e veja que sua variável (X) está como expoente do termo à esquerda desta igualdade.
Bom, o nosso objetivo é igualar as bases, vamos fatorar ambos os lados:
expo2.gif (1019 bytes) O lado esquerdo já estava fatorado. Agora temos os dois lados com a mesma base. Chegamos ao objetivo. Agora devemos “CORTAR” as bases de ambos os lados.
expo3.gif (1051 bytes) Pronto, com as bases “cortadas” mantemos os expoentes e calculamos uma equação do primeiro grau.
x=2 Esta é a solução!!

Vejam agora um exemplo um pouquinho mais difícil:

expo4.gif (1081 bytes) O nosso objetivo é sempre o mesmo, igualar as bases. Vamos fatorar ambos os lados.
expo5.gif (1229 bytes) Temos agora que utilizar as propriedade de potenciação
expo6.gif (1314 bytes) Pronto, estamos com as bases iguais. Vamos cortar e resolver a equação do primeiro grau novamente.
2x-2=5 Aplicando as propriedades operatórias.
2x=5+2
2x=7
x=7/2
Esta é a solução

Vamos aumentar mais uma vez o nível.

expo7.gif (1238 bytes) Novamente começamos fatorando.
expo8.gif (1351 bytes) Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e radiciação.
expo9.gif (1483 bytes) Com as bases iguais vamos operar os expoentes
expo10.gif (1767 bytes) Esta é a nossa solução x=4

Mais um exemplo um pouco mais difícil.

expo11.gif (1102 bytes) Este exemplo é um pouco mais difícil pois tem um expoento no expoente. Note que teremos que igualar as bases duas vezes. Preste atenção. Vamos fatorar
expo12.gif (1065 bytes) Agora podemos cortar as bases. Sobram os expoentes.
expo13.gif (1029 bytes) Temos outra equação exponencial. Novamente vamos fatorar e igualar as bases.
expo14.gif (1050 bytes) Corta-se as bases.
x+1=2
x=2-1
x=1
Esta é a nossa solução, x=1

Novamente vamos aumentar a dificuldade:

expo15.gif (1097 bytes) Como sempre, vamos fatorar.
expo16.gif (1288 bytes) Vamos aplicar as propriedades operatórias de potenciação para multiplicação e divisão de mesma base.
expo17.gif (1592 bytes) Pronto, objetivo alcançado. Cortando…
8x-7=x-3
8x-x=7-3
7x=4
x=4/7
Esta é a solução

Agora com mais raízes.

expo18.gif (1122 bytes) Esta parece ser bem mais difícil, né?? Mas a dificuldade é a mesma, você precisa ter os mesmo conhecimentos para resolve-la. As bases já estão definidas, vai ser 2. O que devemos fazer é transformar o lado esquerdo em uma única raiz usando as propriedades de radiciação. Vamos primeiro trabalhar no 2 mais de dentro.
expo19.gif (1139 bytes) Agora é só fazer a multiplicação de potências de mesma base.
expo20.gif (1376 bytes) Uma raiz já foi. Vamos fazer a mesma coisa com as outras.
expo21.gif (1825 bytes) Mais uma vez para matar a última raiz.
expo22.gif (999 bytes) Bases iguais, corta-las…
expo23.gif (1223 bytes) Agora é só operar e isolar “x”.
expo24.gif (1772 bytes) Esta é a nossa solução.

Veja uma que precisa de Bhaskara para resolver:

expo25.gif (958 bytes) Precisamos igualar as bases mas nenhum dos lados da igualdade pode ser fatorado. Iremos usar uma propriedade que aprendemos na lição passada: qualquer número elevado na potência zero vale 1 (Xo=1). Então o lado direito da igualdade pode ser 3o.
expo26.gif (978 bytes) Agora com as bases igualadas vamos corta-las.
x2-x-6=0 Agora é uma equação do segundo grau. Aplicando Bhaskara achamos suas raízes.
{-2 e 3} Esta é a solução, “x” pode ser qualquer um destes valores.

Última agora

3·2x+3=192 A única diferença deste exemplo é que antes de fatorar para tentar igualar as bases temos que “passar” o três que está multiplicando para o lado direito dividindo.
2x+3=192/3 Efetuando o cálculo
2x+3=64 Agora sim!!! Fatoramos para igualar as bases.
2x+3=26 Cortando…
x+3=6
x=6-3
x=3
Esta é a nossa solução.

Faça agora alguns exercícios que utilizam este mesmo método para resolução. Após isso veja mais exemplos resolvidos com outros métodos de resolução.

Exercícios:


1)  2) 
3)  4) 
5)  6) 
7) 

8) Se , então “x” vale:

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E)


9) (PUC-RS) A soma das raízes da equação  é:

(A) -4
(B) -2
(C) -1
(D) 2
(E) 4


10) (UFRGS) Sabendo-se que , tem-se que  vale:

(A) -4
(B) -2
(C) 0

(D) 

(E) 2


11) (UFRGS) O valor de x que verifica a equação  é:

(A) -1

(B) 

(C) 0

(D) 

(E) 1


12) (UFRGS) A solução da equação  é

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E)


13) (UFRGS) Sabendo que  então  vale

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E)


14) (PUCRS) A soma das raízes da equação é:

(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2


GABARITO
01-  05- {3; 1} 09- D 13- E
02- ±2 06- {9; 1} 10- D 14- A
03- {4; 3} 07- -1 11- A
04- 1 08- B 12- B

»

  1. Gostei muito da matéria, a forma como foi exposta e a qualidade dos exercícios. Muito bom! Gostaria de oter alguns problemas significativos que envolvam função exponencial e logarítmo. Obrigado.

    • Oi Célio que bom que gostou da matéria, espero que continue vindo para estudar.
      Sobre problemas que envolvam função exponencial e logarítmo, futuramente tenho intenção de colocar, não só desta matéria mas de todas. Então fique atento e sempre nos visite.
      obrigado
      eder

  2. Boa noite…me desculpe analisando depois eu vi que o b é -5,por isso a conta está certa…jogo de sinal kkk me perdoe novamente!!!

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