Equações polinomiais (polinômios)

Padrão

Polinômios:

Introdução:

1) Expressões literais:

São expressões nas quais representamos números por letras. As letras são chamadas variáveis e podem assumir quaisquer valores dentro de um conjunto de números.

Uma expressão é chamada monômio quando não apresenta as operações adição e subtração.

Exemplos:

a) 5x    onde o coeficiente é +5 e a parte literal é x

b)-a2b5 onde o coeficiente é -1 e a parte literal é  a2b5

Uma expressão literal é chamada polinomial quando é formada por uma soma algébrica de monômios.

Exemplo:

X3-3x2y+3y2

Em álgebra elementar representamos polinômios na variável x pela expressão:

P(x) = anXn + na-1xn-1 +…. + a2x2+a1X+a0

Com n pertence a N.

Grau de um polinômio P(x) é o maior expoente de x, cujo termo tem coeficiente diferente de zero.

Exemplo:

P(x)= 4x3 -2x2 + 5x -6

onde Coeficiente: 4,-2,5,-6

Termos: 4x3,-2x2,+ 5x, -6

Grau: 3

Observações:

1º) Em relação a qualquer variável, podemos dizer que os números reais diferentes de zero são polinômios cujo grau é zero.

Exemplo:

São polinômios do grau nulo: 3, 5, -5 pois não podem ser escritos

2º)O zero é polinômio de grau não definido pois:

0= 0x0=0x=0x2=…0x20=….

2) Valor numérico de um polinômio

É o número que se obtém ao substituir a variável x por um número qualquer

Dado o polinômio P(x)= X4 – 2x3 + 5x – 1

A) P(1)= 14 – 2.13 + 5.1 – 1 = 3

B) P(2)= 24 – 2.23 + 5.2 – 1 = 9

3) Polinômios idênticos:

É aquele que todos os seus coeficientes são iguais a zero. Indica-se por P(x)=0

Operações com polinômios:

1) Adição e subtração

Em primeiro lugar, devemos eliminar os parentêses e, em seguida, efetuar a redução dos termos semelhantes:

(2x4 – 3x2 + 5x) + (5x4 – 4x3 +4x2 + 4x -1) =2x4 – 3x2 + 5x + 5x4 – 4x3 +4x2 + 4x -1 = 7x4 – 4x3 +x2 + 9x -1

2) Multiplicação

Primeiro multiplicamos todos os termos dos polinômios entre si e em seguida efetuamos a redução dos termos semelhantes:

(x-1).(2x3 – 5x2 +2)= 2x4 -5x3 + 2x – 2x3 + 5x2 – 2 = 2x4 -7x3 + 5x2 + 2x– 2

3) Divisão:

Quando dividimos um polinômio D(x) por outro d(x), devemos lembrar que se obtém um quociente Q(x) e um resto R(x), Tal que :

D(x)= Q(x).d(x) + R(x)

Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).
Quando trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo. Observe o seguinte esquema:

Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo operatório. Observe:

Exemplo 1:

Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter o dividendo como resultado.

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
4x * (3x² + x – 2) + 0
12x³ + 4x² – 8x

Caso isso ocorra, a divisão está correta. No exemplo a seguir, iremos dividir polinômio por polinômio. Veja:

Exemplo 2:

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(2x – 5) * (5x – 9) + (–5)
10x² – 18x – 25x + 45 + (–5)
10x² – 43x + 45 – 5
10x² – 43x + 40

Observe o exemplo de número 3:

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo

(3x² + x – 1) * (2x² – 4x + 5) + 0
6×4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5
6×4 – 10x³ + 9x² + 9x – 5

Exemplo 4:

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo

(4x – 5) * (3x² – x + 2) + (2x + 7)
12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7)
12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7
12x³ – 19x² + 15x – 3

Esta parte de divisão de polinômios foi retirado do site Brasil escola

Para mais informações veja a monografia de MARIA DE SOUZA MACHADO ABREU para o curso de Especialização daUniversidade Federal de Minas Gerais: equações polinomiais

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