Relações

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Relações

Em Matemática, uma relação binária é uma correspondência existente entre dois conjuntos não vazios AB. O conjunto A é denominado conjunto de partida e o conjunto B é denominado conjunto de chegada.

A correspondência entre os dois conjuntos é dada em termos de pares ordenados, onde o primeiro elemento do par ordenado procede do conjunto de partida A e o segundo elemento do par ordenado procede do conjunto de chegada B.

Os conjuntos de partida e de chegada não tem necessariamente que ter uma estrutura. Entretanto, segundo o tipo de estrutura que é sobreposta a esses conjuntos e o tipo de restrição que se impõe à própria relação, tem-se tipos especiais de relações, cada qual com um nome específico

Uma classe de relações especialmente importante é a classe das funções.

Fundamentos

Matematicamente, uma relação é qualquer subconjunto de um produto cartesiano. Em termos mais explícitos, definimos uma relação Rcomo sendo um conjunto de pares ordenados \left(a,b\right) tais que a pertença ao conjunto A e que b pertença ao conjunto B. Em termos matemáticos:

 R \subseteq A \times B = \left\{\left(a,b\right)| a \in A \land b \in B\right\}
Note-se que até o próprio conjunto cartesiano é um tipo de relação, dado que todo conjunto é subconjunto impróprio de si mesmo. Até o conjunto vazio pode ser considerado uma relação, mas deve-se tomar alguns cuidados em definições e teoremas para se evitarem paradoxos e contradições.

Relações entre elementos do mesmo conjunto

Um tipo importante são as relações em que A = B, ou, em outras palavras, subconjuntos de A x A. Os tipos de propriedades que essas relações podem ter são:

  1. Reflexiva: \left(a,a\right) \in R  \quad \forall a \in A
  2. Simétrica: \left(a,b\right) \in R  \to  \left(b,a\right) \in R
  3. Anti-simétrica: \left(a,b\right) \in R  \land  \left(b,a\right) \in R   \to   \left(a,b\right) = \left(b,a\right)
  4. Transitiva: \left(a,b\right) \in R  \land  \left(b,c\right) \in R   \to   \left(a,c\right) \in R

Relações de equivalência

Uma relação de equivalência é uma relação binária entre elementos de um dado conjunto. De forma mais rigorosa, uma relação de equivalência num conjunto X é uma relação binária que é reflexiva, simétrica e transitiva:

\forall a \in X,\ a R a (reflexividade)
\forall a, b \in X,\ a R b \Rightarrow \; b R a (simetria)
\forall a, b, c  \in X,\ a  \,R\, b \and b \,R\, c \; \Rightarrow a \,R\, c (transitividade)

Uma relação de equivalência permite dividir o conjunto em classes de equivalência; esta construção é muito importante para gerar vários conjuntos quocientes, como grupos quocientes ou topologias quocientes. A idéia é partir de um conjunto, em princípio mais complicado, X e tentar criar um outro conjunto Y, mais simples, que vê elementos distintos de X como iguais. Então, estudando-se o conjunto mais simplesY pode-se tirar conclusões sobre X.

Descobrir relações de equivalência é fundamental para os matemáticos entenderem certas classes de objetos. Como exemplos, temos a congruência dos inteiros (“descoberta” por Gauss), que é ferramenta básica para entendermos certos teoremas em Teoria dos Números, e a congruência de triângulos (conhecida desde Euclides), importante pilar da geometria.

Exemplos

  • O produto cartesiano de um conjunto A com ele mesmo, A \times A\, é uma relação de equivalência.
  • A relação em A definida por x R x \iff x = x\, (a diagonal do produto cartesiano, ou o gráfico da função identidade) é uma relação de equivalência.
  • A interseção de uma quantidade não-vazia de relações de equivalência é uma relação de equivalência. Isso permite definir a menorrelação de equivalência satisfazendo determinadas propriedades. Por exemplo, seja R uma relação qualquer em um conjunto A. O conjunto X das relações de equivalência E que contém R não é vazio (porque A \times A \in X\,). Então, a interseção dos elementos deX é uma relação de equivalência que contém R, denominada a relação de equivalência gerada por R.
  • Nem sempre a união de relações de equivalência é uma relação de equivalência.
Relações de ordem
É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

Relação Composta

Seja R uma relação de A para B, e S uma relação de B para C. Então podemos definir a relação composta S o R, de A para C, como:

S \circ R = \{ (x, z) \in A \times C | \exists y \in B, (x, y) \in R \land (y, z) \in S \}\,

Um cuidado deve ser tomado com essa notação, que é consistente com a notação de função composta, porque S e R parecem estar invertidas.

Relação Inversa

Analogamente ao conceito de função inversa, podemos definir a relação inversa da relação R \subset A \times B\,:

R^{-1} = \{ (y, x) \in B \times A | (x, y) \in R \} \,

Note-se que nem sempre (aliás, quase nunca) R o R^{-1} = Id_B\,.

Esta matéria foi retirada do Wikipédia

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