Funções

Padrão

Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas.

A maioria dos livros representa uma função através da notação:

f : D \mapsto Y

em que:

  • D é um conjunto (chamado de domínio da função)
  • Y também é um conjunto (que pode ou não ser igual a D, chamado de contra-domínio da função)
  • f é uma lei que associa elementos do conjunto D ao conjunto Y, satisfazendo certos axiomas (abaixo delineados)

Se x é um elemento do domínio D, a função f: D \mapsto Y\, sempre associa a ele um único elemento f(x) do contra-domínio Y:

f: x \in D \mapsto y = f(x).

O gráfico da função é o conjunto de pares ordenados (x, f(x)), sendo um subconjunto de D x Y.

Alguns livros chamam de função o que foi chamado aqui de seu gráfico; em alguns casos, este gráfico nem precisa ser um conjunto, sendo uma classe.

Por outro lado, em alguns contextos são consideradas funções parciais (em que nem todos pontos do domínio D tem um valor f(x)) oufunções multivariadas (em que alguns pontos do domínio D podem ter mais de um valor f(x)).

Conceito

O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de “fórmula matemática”. Funções descrevem relações matemáticasespeciais entre dois objetos, xy=f(x). O objeto x é chamado o argumento ou domínio da função f e o objeto y que depende de x é chamado imagem de x pela f.

Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula, um relacionamento gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação ou mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos funções por seus gráficos, cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x.

Este conceito é determinístico, sempre produz o mesmo resultado a partir de uma dada entrada (a generalização aos valores aleatórios é chamada de função estocástica). Uma função pode ser vista como uma “máquina” ou “caixa preta” que converte entradas válidas em saídas de forma unívoca, por isso alguns autores chamam as funções de relações unívocas.

O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo

f(x)=x^2 \,\!

Que resulta em qualquer valor de x ao quadrado.

Uma generalização direta é permitir que funções dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo,

g(x,y)=xy \,\!

recebe dois números xy e resulta no produto deles, xy.

De acordo com o modo como uma função é especificada, ela pode ser chamada de função explícita (exemplo acima) ou de função implícita, como em

xf(x)=1 \,\!

que implicitamente especifica a função

f(x)= \frac{1}{x}

A noção intuitiva de funções não se limita a computações usando apenas números. A noção matemática de funções é bem mais ampla. Assim, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o contra-domínio (ou codomínio) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exactamente um elemento do contra-domínio. O conjunto dos elementos do contra-domínio que são relacionados pela f a algum x do domínio, é chamado de “conjunto-imagem” ou “imagem”.

As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de sua generalização as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas desta ciência baseiam-se no estudo de funções. Pode notar-se que as palavras “função“, “mapeamento“, “mapear” e “transformar” são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso funções podem ocasionalmente ser referidas comofunções bem definidas ou função total.

Definição formal

Considere dois conjuntos XY. Uma função f de X em Y:

f:X\rightarrow Y

relaciona com cada elemento x em X, um único elemento y=f(x) em Y.

Outra maneira de dizer isto é afirmar que f é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que:

  1. f é unívoca: se y = f(x) e z = f(x), então yz.
  2. f é total: para todos x em X, existe um y em Y tal que y = f(x).

Se a segunda condição é atendida, mas a primeira não, temos uma função multivalorada, o termo função multívoca é, por vezes utilizado na mesma acepção.

Se a primeira condição é atendida, mas a segunda não, temos uma função parcial.

Considere as três funções seguintes:

Esta não é uma função, pois o elemento 3 em X é associado com dois elementos (dc) em Y (a correspondência é funcional). Apesar de não ser uma função, representa uma função multivalorada. Este texto equivale ao primeiro gráfico.

Esta não é uma função, pois o elemento 1 em X não é associado com, pelo menos, um elemento em Y. Apesar de não ser uma função, representa uma função parcial.Este texto equivale ao segundo gráfico.

Esta é uma função (no caso, uma função discreta). Ela pode ser definida explicitamente pela expressão:

f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{se }x=1 \\ c, & \mbox{se }x=2 \\ d, & \mbox{se }x=3. \end{matrix}\right.
Este texto equivale ao terceiro gráfico.
Naofuncao1.png
Naofuncao2.png
Funcao venn.png

Domínio, contradomínio e imagem


 

Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já ocontradomínio é: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.

Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.

Note-se que a função se caracteriza pelo domínio, o contradomínio, e a lei de associação. A função f: \R \to \R, \ f(x) = x^2\, é diferente da função g: \R \to \R^{+}, \ g(x) = x^2\,.

Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

Os tipos de funções podem ser classificados de acordo com o seu comportamento com relação à regra uma única saída para cada entrada. Como não foi dito nada sobre as entradas, ou se as saídas tem que ser únicas temos que resolver estas ambiguidades. Ao fazer isto encontramos apenas três tipos de classes de funções ( classe como em ‘classificação’ não classe de equivalência):

  • Funções injectoras (ou injectivas)

São funções em que cada elemento da imagem (da saída) está associado a apenas um elemento do domínio (da entrada), isto é uma relação um para um entre os elementos do domínio e da imagem. Isto é, quando x \neq y no domínio então f(x) \neq f(y) no contradomínio. A cardinalidade do contra-domínio é sempre maior ou igual à do domínio em uma função inje(c)tora. Ressalta-se portanto que podem haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função. Exemplo:

Funcao venn.png
  • Funções sobrejetoras (ou sobrejetiva)

Uma função em que todos os elementos do contra-domínio (da saída) estão associados a algum elemento do domínio (da entrada). Em outras palavras, isso significa que o conjunto imagem é igual ao conjunto contra-domínio

Surjection.svg
  • Funções bijetoras (ou bijetiva)

Se for sobrejetora e injetora, isto é, se todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contra-domínio de forma um para um e exclusiva.

Bijection.svg

Funções compostas

A função composta é uma lei que relaciona directamente os elementos do conjunto A com os do conjuntoC, neste caso representada por f(g(x)).

São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva directamente ao conjunto imagem A. Exemplo: Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x – 1, uma função composta pode ser g(f(x)) = 2x + 2. Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer f(g(x)), f(f(x)) etc. Note que o conjunto imagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.

Função inversa

Somente as funções bijetoras apresentam inversa, pois qualquer número do domínio tem um único correspondente no contra-domínio(injetora) e este tem todos os seus valores relacionados uma única vez (sobrejetora). Assim, podemos estabelecer uma relação inversa, transformando o contra-domínio em domínio, e o domínio em contra-domínio de uma função. A expressão que representa essa troca é chamada de função inversa, e é representada por f -1(x). Ex:

  1. f(x) = x + 1 \,\!
  2. y = x + 1 \,\!
  3. x = y + 1 \,\!
  4. y = x - 1 \,\!
  5. Portanto, f^{-1}(x) = x - 1 \,\!

Gráficos de função

 

Gráfico

O gráfico de uma função f:D\to I\, é o conjunto dos pares ordenados em D\times I\, da forma \left(x,f(x)\right)\,, ou seja:

\left\{\left(x,f(x)\right) : x \in D \right\}\,

ou equivalentemente:

\left\{\left(x,y\right)\in D\times I : x \in D \mbox{ e } y=f(x) \right\}\,

os termos deste par ordenado são chamados de abcissa e ordenada.

Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela especificação do conjunto de chegada. Assim, se duas funções têm o mesmo gráfico, uma poderá ser sobrejectiva e a outra não. No entanto, a injectividade de uma função é completamente determinada pelo gráfico.

Embora o conceito de gráfico esteja relacionado ao conceito de desenho, pode-se falar do gráfico de funções em espaços de dimensão infinita. Um importante teorema da análise funcional é o teorema do gráfico fechado.

Gráfico em duas dimensões

 

Pontos marcados no plano cartesiano.

Uma das aplicações mais corriqueiras da idéia de gráfico de uma função é o traçado de uma curva sobre o plano cartesiano de forma a explicitar as “principais” propriedades de uma função.

O gráfico de muitas funções reais específicas recebem nomes especiais. O gráfico de um função afim, ou polinômio do primeiro grau, é chamado de reta; de um polinômio do segundo grau, de parábola; de um polinômio do terceiro grau, de parábola cúbica; da função y=\cosh(x)\, é uma catenária.

Exemplos

y = f(x) \,\! no intervalo [-10 10 -10 10]:

 x \,\!

 |x| \,\!

  \sin x \,\!

 \cos x \,\!

 \csc x \,\!

  \sec x \,\!

 \tan x \,\!

  \cot x \,\!

  \exp x \,\!

 2^{-x} \,\!

Logaritmos em várias bases

 \sqrt{10 - x^2} \,\!

  \sqrt{x} \,\!

 x^2 \,\!

 x^3 \,\!

Esta matéria foi retirada do Wikipédia

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