Teoria dos conjuntos:as relações de pertinência, inclusão e igualdade
Esta postagem foi desenvolvida da seguinte forma:
1º Teoria dos conjuntos retirado do site Vestibulando Web
2º Conjunto e seus elementos retirado do site Mundo Educação
3º Vídeo aula com do Rico Domingues Concursos – professor André Domingues – Matemática – Teoria dos Conjuntos: relação de pertinência e inclusão.
Caso você queira acrescentar algo faça um comentário.
Espero que aproveitem bem e bons estudos!
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1º Teoria dos conjuntos retirado do site Vestibulando Web
1. Introdução
Como em qualquer assunto a ser estudado, a Matemática também exige uma linguagem adequada para o seu desenvolvimento.
A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas.
Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos (noções que adotamos sem definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da teoria dos Conjuntos.
Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e pertinência. Assim é preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao conjunto de habitantes da cidade, mesmo que não tenhamos definido o que éconjunto, o que é elemento e o que é pertinência.
2. Notação e Representação
A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto e a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir.
A. Listagem dos Elementos
Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Os elementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por vírgula ou por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais.
Exemplos
1º) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então:
A = {verde, amarelo, azul, branco}
2º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
B = {a, e, i, o, u}
3º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B. Uma Propriedade de seus elementos
A apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o inconveniente de não ser uma notação prática para os casos em que o conjunto apresenta uma infinidade de elementos. Para estas situações, podemos fazer a apresentação do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos doconjunto e somente a estes elementos.
A = {x / x possui uma determinada propriedade P}
Exemplos
1º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}
2º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:
C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}
C. Diagrama de Euler-Ven
A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem ao conjunto considerado.
Exemplo
3. Relação de Pertinência
Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que o elemento xpertence ao conjunto A e indicamos:
em que o símbolo 
é uma versão da letra grega epsílon e está consagrado em toda matemática como símbolo indicativo de pertinência. Para indicarmos que um elemento x não pertence ao conjunto A, indicamos:
Exemplo
Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}
O algarismo 2 pertence ao conjunto A:
O algarismo 7 não pertence ao conjunto A:
4. Relação de Inclusão Subconjuntos
Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, pertencer também a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte símbologia:
Obs. – Podemos encontrar em algumas publicações uma outra notação para a relação de inclusão:
O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B. Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira:
Se o conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. Como todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A é subconjunto de A e, por extensão, todo conjunto ésubconjunto dele mesmo.
Importante – A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos.
Podemos notar que existe uma diferença entre 2 e {2}. O primeiro é o elemento 2, e o segundo é o conjuntoformado pelo elemento 2. Um par de sapatos e uma caixa com um par de sapatos são coisas diferentes e como tal devem ser tratadas.
Podemos notar, também, que, dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser tratado como um de seus elementos. Vejamos o exemplo a seguir:
{1, 2} é um conjunto, porém no conjunto
A = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elemento, ou seja, {1, 2} A.
Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porém uma cidade é um elemento do conjunto de cidades que formam um Estado.
5. Conjuntos Especiais
Embora conjunto nos ofereça a idéia de “reunião” de elementos, podemos considerar como conjunto agrupamentos formados por um só elemento ou agrupamentos sem elemento algum.
Chamamos de conjunto unitário aquele formado por um só elemento.
Exemplos
1º) Conjunto dos números primos, pares e positivos: {2}
2º) Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua}
3º) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: {6}
Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um conjunto vazio considerando umconjunto formado por elementos que admitem uma propriedade impossível.
Exemplos
1º) Conjunto das raízes reais da equação:
x2 + 1 = 0
2º) Conjunto: 
O conjunto vazio pode ser apresentado de duas formas: 
ou { } ( é uma letra de origem norueguesa). Não podemos confundir as duas notações representando o conjunto vazio por {}, pois estaríamos apresentando umconjunto unitário cujo elemento é o .
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.
Demonstração
Vamos admitir que o conjunto vazio não esteja contido num dado conjunto A. Neste caso, existe um elemento x que pertence ao conjunto vazio e que não pertence ao conjunto A, o que é um absurdo, pois o conjunto vazio não tem elemento algum. Conclusão: o conjunto vazio está contido no conjunto A, qualquer que seja A.
6. Conjunto Universo
Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos admitir um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este conjunto é chamado de conjunto universo e é representado pela letra maiúscula U.
Uma determinada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto universo que for estabelecido.
Exemplos
1º) A equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0 apresenta:
7. Conjunto de Partes
Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P (A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.
A. Determinação do Conjunto de partes
Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a determinação do conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos:
1º) Subconjunto vazio: , pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
2º) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}.
3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}.
4º) Subconjuntos com três elementos:A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma: P(A) = {, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}
B. Número de Elmentos do conjunto de partes
Podemos determinar o número de elementos do conjunto de partes de um conjunto A dado, ou seja, o número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja necessidade de escrevermos todos os elementos do conjunto P(A). Para isso, basta partirmos da idéia de que cada elemento do conjunto A tem duas opções na formação dos subconjuntos: ou o elemento pertence ao subconjunto ou ele não pertence ao subconjunto e, pelo uso do princípio multiplicativo das regras de contagem, se cada elemento apresenta duas opções, teremos:
Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta três elementos e, portanto, é de se supor, pelo uso da relação apresentada, que n [P (A)] = 23 = 8, o que de fato ocorreu.
8. Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos elementos, em qualquer ordem e independentemente do número de vezes que cada elemento se apresenta. Vejamos os exemplos:
{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}
Observação
Se o conjunto A está contido em B (A 
B) e B está contido em A (B A), podemos afirmar que A = B.
2º Conjunto e seus elementos retirado do site Mundo Educação
Podemos fazer algumas relações entre conjunto com conjunto, entre conjunto e elemento de um conjunto. Essas relações possuem características específicas e representações próprias. Vamos caracterizar cada uma delas.
• Igualdade de conjuntos
Podemos dizer que dois ou mais conjuntos são iguais se os elementos de um forem idênticos aos dos demais, matematicamente representamos uma igualdade pelo sinal =.
Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4} e o conjunto B = {4, 3, 2, 1, 0}, observando os elementos de cada conjunto percebemos que são idênticos, então podemos
dizer que A = B (A igual a B).
Quando comparamos A e B e eles não são iguais dizemos que são diferentes representados assim A ≠ B.
• Relação de inclusão
Ao comparamos dois conjuntos perceberemos que eles nem sempre serão iguais, mas em alguns casos alguns elementos sim. Por exemplo:
Dado o conjunto A = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} eles não são diferentes, mas observando o conjunto B veremos que todos os seus elementos estão dentro do conjunto A.
Essa relação é chamada de inclusão, ou seja, o conjunto B está incluso, contido, no conjunto A. Representada matematicamente por B .jpg){kind=small}
A (B está contido em A).
Dado o conjunto C = {0, 1, 2, 3} e D = {4, 5, 6, 7}, nesses dois conjuntos não é possível aplicar a relação de inclusão, então dizemos que C 
D (C não está contido em D), assim como D C (D não está contido em C).
• Relação de Pertinência
Essa relação é utilizada quando comparamos conjunto com elementos. Quando queremos dizer que um elemento qualquer está dentro de um conjunto ou que ele não está no conjunto, dizemos que ele pertence ou não pertence a esse determinado conjunto, veja o exemplo:
Dado o conjunto A = {-8, -4, -2, 0, 1, 2, 3}, podemos dizer que – 4 A ( – 4 pertence a A) e que 5 A ( 5 não pertence a A)
Por Danielle De Miranda
3º Vídeo aula com do Rico Domingues Concursos – professor André Domingues – Matemática – Teoria dos Conjuntos: relação de pertinência e inclusão.
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(“A ou não-A“) é uma tautologia, porque é verdadeira para todas as valorações de A. Existem exemplos mais complexos tais como 
(“A e B; ou não-A; ou não-B“). O primeiro a usar o termo lógica proposicional foi o filósofo Ludwig Wittgenstein em 1921.
