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Descontos: Conceito; Desconto simples (ou bancário ou comercial); Desconto composto

07/05/2012

Esta postagem foi desenvolvida da seguinte forma:

1º Um pequeno resumo teórico para ter uma idéia geral retirado do Blog Milton Borba

2º Link para uma apostila produzida pela Uniceuma Virtual ( matéria a partir da página 54 ), muito boa vale conferir!!!

3º Matéria retirada do site de Julio Battisti.

4º Material retirado do site Algo sobre Vestibular

5º Duas vídeos aula com o professor André Domingues

Caso você queira acrescentar algo faça um comentário.

Espero que aproveitem bem e bons estudos!

Aproveito para pedir que baixe meu livro A Fortaleza do Centro e fazer um comentário e caso goste divulgar para seus amigos, se possível no facebook e twitter.

1º Um pequeno resumo teórico para ter uma idéia geral retirado do Blog Milton Borba

DESCONTOS

São juros recebidos (devolvidos) ou concedidos quando o pagamento de um título é antecipado.

O desconto é a diferença entre o valor nominal (S) de um título na data do seu vencimento e o seu valor atual (C) na data em que é efetuado o pagamento, ou seja: 

D = S – C

Os descontos são nomeados simples ou compostos em função do cálculo dos mesmos terem sido no regime de juros simples ou compostos, respectivamente.

Os descontos (simples ou compostos) podem ser divididos em:

  • Desconto comercial, bancário ou por fora;
  • Desconto racional ou por dentro.

DESCONTOS SIMPLES

Por Fora (Comercial ou Bancário)    

O desconto é calculado sobre o valor nominal (S) do título, utilizando-se taxa de juros simples

Df = S.i.t

É o desconto mais utilizado no sistema financeiro, para operações de curto prazo, com pequenas taxas.

O valor a ser pago (ou recebido) será o valor atual C = S – Df = S – S.i.t , ou seja

 C = S.(1- i.t)

Por Dentro (Racional)    

O desconto é calculado sobre o valor atual (C) do título, utilizando-se taxa de juros simples

Dd = C.i.t

Como C não é conhecido (mas sim, S) fazemos o seguinte cálculo: 

C = S – Dd ==> C = S – C.i.t  ==> C + C.i.t = S ==> C(1 + i.t) = S

 C = S/(1 + i.t)

Este desconto é utilizado para operações de longo prazo.
Note que (1 – i.t) pode ser nulo, mas 
(1 + i.t) nunca vale zero.


DESCONTOS COMPOSTOS

O desconto (Dc) é calculado com taxa de juros compostos, considerando n período(s) antecipado(s):

Dc = S – C

onde, de S = C.(1 + i)n, tiramos que 

C = S/(1 + i)n

2º Link para uma apostila produzida pela Uniceuma Virtual ( matéria a partir da página 54 ), muito boa vale conferir!!!

Matematica-Financeira-2010 Uniceuma

3º Matéria retirada do site de Julio Battisti.

Desconto

* Desconto

Desconto é o abatimento no valor de um título de crédito que pode ser:

* Letra de câmbio

* Fatura

* Duplicata

* Nota promissória

Este desconto é obtido quando o mesmo é resgatado antes do vencimento do compromisso.

O valor do título no dia do vencimento é chamado de : valor nominal e este vêm declarado no mesmo.

O valor do título em uma data anterior ao vencimento da fatura é chamado de : valor atual.

O valor atual é menor que o valor nominal

Desta forma, o valor atual de um título qualquer é a diferença entre o valor nominal (valor do título) e seu respectivo desconto.

Observe:

A = N – Dc

Ou

A = N – Dr

Onde: A – Valor atual

Exemplos para fixação de conteúdo:

Qual o valor atual atual (A) de um título de uma empresa no valor de R$ 15.000,00 a 2% a.m, descontado 6 meses antes do prazo do seu vencimento?

Resolvendo:

N = 15.000

I = 2% a.m = 24% a.a. (01 ano = 12 meses)

T = 6

Dc = 15000 x 24 x 6  2160000

1200                  1200

Dc= 1800

A = 15000 – 1800 = 13200

A = 13200

Convenções gerais e fórmulas

Observe algumas notações:

Assim:

Como já falado anteriormente, o desconto é a diferença entre o valor nominal de um título (futuro) “N” e o valor atual  “A” do título em questão.

D = N – A

Fórmula do desconto:

Dc =  N . i . t

           100

* Tipos de desconto

Há basicamente dois tipos de descontos:

1 – Desconto comercial (por fora)

2 – Desconto racional (por dentro)

1 – Desconto comercial

Também chamado de desconto por fora, comercial, ou desconto bancário (Dc), pode ser definido como aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do título, levando-se em conta o capital principal como valor nominal “N”.

Assim, de acordo com a fórmula dada:

Dc = N . i . t

           100

Onde:

Dc = desconto comercial

N = valor nominal do título dado

i =  taxa de desconto

t = período de tempo na operação

100 = tempo considerado em anos

Observações:

a) Quando o período de tempo (t) for expresso no problema em dias, o tempo considerado na operação devera ser em dias e utilizado o valor de 36000.

b) Quando o período de tempo (t) for expresso em meses, o tempo considerado deverá ser em meses e utilizando o valor 1200.

Exemplos para fixação de conteúdo:

1) Uma fatura foi paga com 30 dias  antes do vencimento do prazo para pagamento. Calcule o valor do desconto, com uma taxa de 45% a.a., sabendo-se que o valor da fatura era no valor de R$ 25.000,00.

Resolvendo:

Dados do problema

N = 25000

i = 45% a.a.

t = 30

Dc = N . i . t

36000

Dc = 25000 x 45 x 30 33750000 = 937,50

36000              36000

O valor de desconto é de R$ 937,50.

Observe o valor 36000 na divisão, pois o tempo é expresso em dias.

2) A que taxa    foi    calculada    o    desconto     simples de R$ 5.000,00 sobre um título de R$ 35.000,00, pago antecipadamente em 8 meses ?

Resolvendo:

Dados do problema

N = 35000

i = ?

t = 8 meses

Dc = 5.000,00

Dc = N . i . t

      1200

i = 1200 . Dc

N. t

I = 1200 x 5000 6000000 = 21,43%

35000 x 8         280000

O valor da taxa é de 21,43%

Observe o valor 1200 na divisão, pois o tempo é expresso em meses.

O desconto comercial pode ser expresso na fórmula abaixo:

Dc = A . i . t

        100 + it

2 – Desconto Racional (por dentro)

É chamado de desconto racional o abatimento calculado com a taxa de desconto incidindo sobre o valor atual do título, temos então:

Dr = A . i .t

100

O qual:

Dr = valor do desconto racional na operação

A = valor atual do título

i = taxa de desconto

t = período de tempo na operação

100 = tempo considerado em ano

Como informado no desconto por fora, não se pode esquecer do tempo em que a taxa é considerada :

Ano = 100

Mês = 1200

Dias = 36000

Relembrando que:

A = N – Dr              Substituindo  –>    Dr = N . i . t

100 + it

Exemplo para fixação de conteúdo:

Calcular o valor do desconto por dentro de um título de R$ 16.000,00 pago 3 meses antes do vencimento com uma taxa de 24% a.a.

Resolvendo:

Dados do problema

N = 16000

i = 24% a.a.

t = 3 meses

Dr = N . i . t

       100 + it

Dr = 16000 x 24 x 3 1152000  = 905,66

1200 + 24 x 3       1272

O valor do desconto é de R$ 905,66

Desconto  Composto

* Desconto

Como informado no tutorial anterior, desconto é o abatimento no valor de um título de crédito que pode ser: Letra de câmbio, fatura, duplicata, nota promissória.

Relembrando temos :

A = N –Dc

Ou

A = N – Dr

Onde: A – Valor atual

Assim, ao estudarmos o desconto simples, foi visto que as diferenças entre desconto bancário e desconto racional.

No desconto bancário (por fora) as taxas são aplicadas sobre o valor nominal, enquanto que no desconto racional (por dentro), os cálculos são feitos com taxas sendo aplicadas sobre o valor líquido.

O desconto composto pode ser definido como a soma dos descontos simples, considerando cada período na operação e calculando sempre as taxas sobre o valor nominal da operação.

Exemplo de definição:

Se um título qualquer é pago com 5 meses de antecedência, o desconto composto seria calculado da seguinte forma:

1) Leva-se em consideração o valor nominal do título na operação e calcula-se o valor P (valor atual) 1 mês antes do vencimento;

2) Se pega o valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 2 meses antes do vencimento;

3) Deste  valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 3 meses antes do vencimento;

4) Deste valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 4 meses antes do vencimento;

5) Terminando então o período, se pega o valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 5 meses antes do vencimento;

Desta forma, quando os descontos são as somas de vários períodos na operação ele é chamado de desconto real. O desconto bancário é a soma dos descontos comerciais.

* Definição e cálculos do valor atual em regime de capitalização composta

Analise uma situação:

Um título qualquer, com valor nominal “N” tem o valor de R$ 20.000,00, passível de resgate  após o período de 7 meses, com uma taxa de juros compostos de 20% a.m.

Qual o capital  que aplicado a essa taxa, durante um período de igual tempo, resultaria um valor N?

Os cálculos feitos nesta operação deverão ser de Montante para Juros Compostos.

Como já estudado em tutoriais anteriores, observe as fórmulas:

M = C . (1 + i)n

Então : N = M = C . (1 + i)n

Como:         N = 20.000

I = 20% = 0,2

n = 7 meses

Temos:

20.000 = C . (1 + 0,2)7

C = 20.000              —> C = 20.000 = 5.581,75

(1 + 0,2)7                         3,5831

O capital procurado é de R$ 5.581.75, que pode ser chamado de valor atual do título.

O valor atual “Va”  de um determinado capital “N” em “n” anos com uma soma “v” que, colocada a juros compostos durante “n” anos, se transforma no seguinte:

N = Va(1 + i)n   —-à         Va = N / (1+i)n

Nas fórmulas acima:

Va = valor atual

N = valor nominal

n = período da operação

i = taxa juros compostos

É possível definir:

Va = N . vn

O símbolo “v” representa um valor dado  tabelado. Na fórmula acima temos também a seguinte situação:

v =  1 / 1+1

* Calculando desconto composto

É bom observar que este tipo de desconto é muito usado no Brasil em grande parte das operações comercias. Este tipo de assunto é cobrado em várias provas de concursos, em conhecimentos gerais de matemática.

Antes, vamos fazer uma comparação com sistema de juros compostos :

Vamos um exemplo prático para definir como calcular.

Qual será o desconto de um título no valor de R$ 9.000,00, à taxa de 9% a.m descontado 3 meses antes do seu vencimento final ?

Dados da operação:

N = 9.000,

I = 9% = 0,09

então vamos usar a fórmula :

Va = N . Vn

Va = 9.000 . (1 / 1 + 0,09)3 = 9.000 x 0,8172 (valor aproximado)

Logo, o valor da operação acima é aproximadamente = R$ 7.354,80

Como o valor original do título era R$ 9.000,00 e o valor atual encontrado é R$ 7.354,80

* Exercícios para fixação de conteúdo

a) Calcule o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$ 25.000,00, se o prazo de vencimento é de 6 meses e a taxa de desconto é de 4,5 ao mês.

Resolução:

Dados do problema

N = 25000

n = 6

i = 4,5 = 0,045

Va = N . Vn

Dr = 25000 x (1 / 1 + 0,045)6

Dr = 25000 x (1 / 1,045) 6

Dr = 25000 x 0,7677 (valor arredondado) = 19.192,50 (valor aproximado)

O valor atual é de R$ 19.192,50

Se o valor original do título é de R$ 25.000,00, então (25.000 – 19.192,50)

O valor do desconto é de R$ 5.807,50

b) Calcule o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$ 30.000,00, com prazo de vencimento antecipado  de 3 meses e a taxa de desconto é de 2% ao mês. No final somar o valor de R$ 2.500,00 de abatimentos extras.

Resolução:

Dados do problema

N = 30.000,00

n = 3

i = 2,0% = 0,02

Va = N . Vn

Dr = 30000 x (1 / 1 + 0,02)3

Dr = 30000 x (1 / 1,02) 3

Dr = 30000 x 0,9420 (valor arredondado) = 28.260 (valor aproximado)

O valor atual da operação é de R$ 28.260,00

Se o valor original do título é de R$ 30.000,00, então (30.000 – 28.260)

O valor do desconto é de R$ 1.740,00

Soma-se a este último o valor de R$ 2.000,00 de abatimentos extras torna-se R$ 3.740,00

4º Material retirado do site Algo sobre Vestibular 

Descontos Simples

sobre Matemática Financeira por Paulo Marques
math@paulomarques.com.br
Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na prática, usa-se sempre o desconto comercial, este será o tipo de desconto a ser abordado a seguir.

Vamos considerar a seguinte simbologia:
N = valor nominal de um título.
V = valor líquido, após o desconto.
D
c = desconto comercial.
d = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.

Teremos:
V = N – Dc

No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. Logo:
Dc = Ndn
Substituindo, vem:
V = N(1 – dn)

Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.

Solução:
V = 10000 . (1 – 0,05 . 3) = 8500
Dc = 10000 – 8500 = 1500
Resp: valor descontado = $8.500,00; desconto = $1.500,00

Desconto bancário

Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF – imposto sobre operações financeiras.

É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título.

Exemplo:
Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação.

Solução:
Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,,05 . 6 = 30000
Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: 100000 – 32750 = 67250
Logo, V = $67250,00
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.

Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao banco.

Duplicatas

Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:
Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.

Obs:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.

Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para troca-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.

Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de $50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação.

SOLUÇÃO:
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000
IOF = 50000(0,015/360).90] = 187,50

Teremos então:
Valor líquido = V = 50000 – (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50
Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m.
Resp: V = $42812,50 e i = 5,60 % a.m.

Exercícios propostos:

1 – Um título de $5000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m. , pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.

Resp: desconto = $300,00 e valor descontado = $4700,00

2 – Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a . a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de reciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para uma duplicata de valor nominal $50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação.

Resp: 6,06% a.m.

Desconto Composto

sobre Matemática Financeira por Edison Andrade de Souza
profedison@algosobre.com.br
Desconto composto é aquele obtido em função de cálculos exponenciais. São conhecidos dois tipos de descontos: o desconto composto “por fora” e o desconto composto “por dentro”, ou racional. O desconto composto “por fora”, não possui, pelo menos no Brasil, nenhuma utilização prática conhecida. Quanto ao desconto “por dentro” ou racional, ele nada mais é do que a diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, determinado com base no regime de capitalização composta; portanto de aplicação generalizada.

Desconto Composto “Por Fora”

No caso do desconto simples “por fora”, a taxa de desconto incide somente sobre o valor futuro dos títulos, tantas vezes, quantos forem os períodos unitários, ou seja, D = S x d x n. Como P = S - D, deduz-se que P =  S.(1 - d x n).

Já no caso do desconto composto, para n períodos unitários, a taxa de desconto incide, no primeiro período, sobre o valor do título; no segundo período, sobre o valor futuro do título menos o valor de desconto correspondente ao primeiro período; no terceiro período sobre o valor futuro do título menos os valores dos descontos referentes ao primeiro e ao segundo período, e assim sucessivamente até o enésimo período, de forma que:

P1 = S - D   ou  P = S(1 - d)
P2 = S(1-d)(1-d) = S(1-d)2
P3 = S(1-d)(1-d)(1-d)= S(1-d)3
.     .
.     .
Pn = S (1-d)n

Assim o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos unitários que sofre um desconto composto “por fora”, é dado pela expressão:

P = S(1-d)n

Exemplos:

1 – Uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto “por fora”. Calcular o valor do desconto.

Dados:
S = 28.800,00
n = 120 dias = 4 meses
d = 2,5% ao mês
D = ?

Solução:

P = S(1-d)
P = 28.800,00(1-0,025)4 = 28.800,00 x 0,903688 = 26.026,21
D = S - P = 28.800,00 – 26.026,21 = 2.773,79
HP12C  = 28.800,00 E 2,5 E 100 : 1  4 YX X 28.800,00 - = 2,773,79

2 – Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% ao mês, produzindo um desconto no valor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do título.

Dados:
D = 1.379,77
d = 3% ao mês
n = 90 dias ou 3 meses
S = ?

Solução:
D = S - P = S - S(1-d)n = S [1-(1-d)n]
D = S [1-(1-d)n]
1.379,77 = S [ 1 - (1 - 0,03)3]
1.379,77 = S [ 1 - 0,912673]
1.379,77 = S x  0,087327
S = 1.379,77/0,087327 =  15.800,00

HP12C = 1E 0,03-3 YX 1- CHS 1/x 1.379,77 X = 15.800,00

Desconto  “Por Dentro ” ou Racional

Desconto “por dentro” ou racional, é dado pela diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, calculado com base no regime de capitalização composta, como segue:

fig. 01

Para manter a coerência no que se refere a simbologia adotada, vamos continuar a representar a taxa de desconto por . Assim a fórmula anterior pode ser escrita como segue:

fig. 02

Exemplo:

1 – Determinar o valor do desconto composto racional de um título no valor de R$ 50.000,00, sabendo-se que o seu prazo é de 5 meses e que a taxa de desconto cobrada é de 3,5% ao mês.

Dados:
S = 50.000,00
n = 5 meses
d = 3,5% ao mês
D = ?

Solução:

D = S x (1 + d)- 1/(1+d)
D = 50.000,00 X (1 + 0,035)5-1/(1 + 0,035)5
D = 50.000,00 X (1,035)5-1/(1,035)5
D = 50.000,00 X 0,18769/1,18769 = 50.000,00 X  0,15803
D = 7.901,50

HP12C = 1,035E5YX 1-E 1,035E5YX : 50.000,00 X = 7.901,50

HP12C =  50.000,00 CHS FV 3,5 i 5 n PV 50.000,00 - = 7.901,34

5º Duas vídeos aula com o professor André Domingues

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Um Comentário
  1. luciana Link Permanente

    muito bom.

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