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Capitalização composta: Equivalência de taxas.

04/05/2012

Esta postagem foi desenvolvida da  seguinte forma:

1º Texto retirado do site Mundo Educação sobre Taxas equivalentes

2º Texto retirado do site Brasil Escola sobre Taxas equivalentes

3º Texto retirado do site Algo sobre vestibular sobre Taxas equivalentes no regime de capitalização composta

Link para apostila desenvolvida pela UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof. Eugênio Carlos Stieler que fala um pouco do assunto na pagina 3

5º Uma vídeo aula sobre taxas equivalentes

Caso você queira acrescentar algo faça um comentário.

Espero que aproveitem bem e bons estudos!

Aproveito para pedir que baixe meu livro A Fortaleza do Centro e fazer um comentário e caso goste divulgar para seus amigos, se possível no facebook e twitter.

 

1º Texto retirado do site Mundo Educação sobre Taxas equivalentes

Em algumas situações relacionadas à Matemática Financeira temos que realizar operações de equivalência das taxas de juros. Em situações de longo prazo conhecemosa taxa mensal de juros, mas desconhecemos o valor da taxa anual ou dos juros acumulados no período estabelecido. A expressão matemática que fornece a taxa de juros equivalente a um período é a seguinte:

(1 + ia) = (1 + ip)n

ia = taxa atual equivalente
ip = taxa do período dado
n = número de períodos

Exemplo 1

Qual a taxa anual de juros de um financiamento que cobra juros mensais de 4,5%.
Temos que 4,5% = 4,5 / 100 = 0,045

(1 + ia) = (1 + 0,045)12
1 + ia = 1,04512
1 + ia = 1,6959
ia = 1,6959 – 1
ia = 0,6959
ia = 69,59 % ao ano

Exemplo 2

Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia.
Sabemos que 0,2% = 0,2 / 100 = 0,002

(1 + ia) = (1 + 0,002)30
1 + ia = 1,00230
1 + ia = 1,0618
ia = 1,0618 – 1
ia = 0,0618
ia = 6,18% ao mês

Exemplo 3

Qual a taxa semestral equivalente a 40% ao ano.
Temos que 40% = 40 / 100 = 0,4

Nesse caso, vale ressaltar que 1 ano possui 2 semestres, então:

(1 + ia)2 = 1 + 0,4
(1 + ia)2 = 1,4
1 + ia = 1,4 1/2
1 + ia = 1,1832
ia = 1,1832 – 1
ia = 0,1832
ia = 18,32% ao semestre

Exemplo 4

Qual a taxa mensal de juros referentes a uma taxa anual de 144%.
Temos que 144% = 144/100 = 1,44

(1 + ia)12 = 1 + 1,44
(1 + ia)12 = 2,44
1 + ia = 2,44 1/12
1 + ia = 1,0768
ia = 1,0768 – 1
ia = 0,0768
ia = 7,68% ao mês

Exemplo 5

Calcule os juros acumulados durante 2 anos referentes a uma taxa mensal de 0,5%.
0,5% = 0,5 / 100 = 0,005

(1 + ia) = (1 + 0,005)24
1 + ia = 1,00524
1 + ia = 1,1271
ia = 1,1271 – 1
ia = 0,1271
ia = 12,71%

Por Marcos Noé Pedro Da Silva

2º Texto retirado do site Brasil Escola sobre Taxas equivalentes

Taxas Equivalentes são taxas que quando aplicadas ao mesmo capital, num mesmo intervalo de tempo, produzem montantes iguais. Essas taxas devem ser observadas com muita atenção, em alguns financiamentos de longo prazo, somos apenas informados da taxa mensal de juros e não tomamos conhecimento da taxa anual ou dentro do período estabelecido, trimestre, semestre entre outros. Uma expressão matemática básica e de fácil manuseio que nos fornece a equivalência de duas taxas é:
1 + ia = (1 + ip)n, onde:

ia = taxa anual
ip = taxa período
n: número de períodos

Observe alguns cálculos:

Exemplo 1
Qual a taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês?
Temos que: 2% = 2/100 = 0,02

1 + ia = (1 + 0,02)12
1 + ia = 1,0212
1 + ia = 1,2682
ia = 1,2682 – 1
ia = 0,2682
ia = 26,82%

A taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês é de 26,82%.

As pessoas desatentas poderiam pensar que a taxa anual nesse caso seria calculada da seguinte forma: 2% x 12 = 24% ao ano. Como vimos, esse tipo de cálculo não procede, pois a taxa anual foi calculada de forma correta e corresponde a 26,82% ao ano, essa variação ocorre porque temos que levar em conta o andamento dos juros compostos (juros sobre juros).

Exemplo 2
Qual a taxa mensal de juros equivalentes a 0,1% ao dia?
Temos que: 0,1% = 0,1/100 = 0,001

1 + im = (1 + 0,001)30
1 + im = 1,00130
1 + im = 1,0304
im = 1,0304 – 1
im = 0,0304
im = 3,04%

A taxa mensal de juros equivalente a 0,1% ao dia é de 3,04%.

Exemplo 3
Determine a taxa de juros anual correspondente a uma taxa de 3% ao trimestre.
Temos: 3% = 3/100 = 0,03

(1 + ia) = (1 + 0,03)4
(1 + ia) = 1,034
ia = 1,1255 – 1
ia = 0,1255
ia = 12,55%

Caso necessite converter alguma taxa, utilize as expressões a seguir de acordo com o período desejado.

1 + im = (1 + id)30 → 1 mês = 30 dias
1 + ia = (1 + im)12 → 1 ano = 12 meses
1 + ia = (1 + is)2 → 1 ano = 2 semestres
1 + is = (1 + im)6 → 1 semestre = 6 meses

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

3º Texto retirado do site Algo sobre vestibular sobre Taxas equivalentes no regime de capitalização composta

Taxas equivalentes no regime de capitalização composta

sobre Matemática Financeira por Paulo Marques
math@paulomarques.com.br
Taxas equivalentes são aquelas que aplicadas ao mesmo capital P, durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montante.

Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia .
O montante S ao final do período de 1 ano será igual a S = P(1 + i a )
Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im.
O montante S’ ao final do período de 12 meses será igual a S’ = P(1 + im)12 .

Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter S = S’.

Portanto, P(1 + i a ) = P(1 + im)12
Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma determinada taxa mensal conhecida.

Exemplo:
Qual a taxa de juros anual equivalente a 1% a. m. ?

Ora, lembrando que 1% = 1/100 = 0,01 , vem:
1 + ia = (1 + 0,01)12 ou 1 + ia = 1,0112 = 1,1268
Portanto, ia = 1,1268 – 1 = 0,1268 = 12,68%

Observe portanto, que no regime de juros compostos, a taxa de juros de 1% a.m. equivale à taxa anual de 12,68% a.a. e não 12% a.a., como poderia parecer para os mais desavisados.

Podemos generalizar a conclusão vista no parágrafo anterior, conforme mostrado a seguir.

Seja:
ia = taxa de juros anual
is = taxa de juros semestral
im = taxa de juros mensal
id = taxa de juros diária

As conversões das taxas podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas:
1 + im = (1 + id)30 [porque 1 mês = 30 dias]
1 + ia = (1 + im)12 [porque 1 ano = 12 meses]
1 + ia = (1 + is)2 [porque 1 ano = 2 semestres]
1 + is = (1 + im)6 [porque 1 semestre = 6 meses]
todas elas baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital, produzem montantes iguais.

Não é necessário memorizar todas as fórmulas.
Basta verificar a lei de formação que é bastante clara. Por exemplo, se iq = taxa de juro num quadrimestre, poderíamos por exemplo escrever:
1 + ia = (1 + iq)3 [porque 1 ano = 3 quadrimestres]
Perceberam?

Exercícios resolvidos e propostos

1 – Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre?

Solução:
Teremos: 1 + ia = (1 + is)2
Como 5% = 0.05, vem: 1 + ia = 1,052 \ ia = 0,1025 = 10,25%

2 – Qual a taxa mensal equivalente a 20% ao ano?

Solução:
Teremos: 1 + ia = (1 + im)12
Como 20% = 20/100 = 0,20, vem:
1 + 0,20 = (1 + im)12
1,20 = (1 + im)12
Dividindo ambos os expoentes por 12, fica:
1,201/12 = 1 + im
Usando uma calculadora científica – a do Windows também serve – obteremos o valor de
im = 0,0153 = 1,53% a.m.

3 – Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
Resp: 6,17% a.a.

4 – Qual a taxa mensal equivalente a 12,62% ao semestre?
Resp: 2% a.m.

5 – Uma taxa diária de 1%, equivale a que taxa mensal?
Resp: 37,48%

4º Link para apostila desenvolvida pela UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof. Eugênio Carlos Stieler que fala um pouco do assunto na pagina 3

5º Uma vídeo aula sobre taxas equivalentes

 

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