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Números e grandezas diretamente e inversamente proporcionais

19/04/2011

Números e grandezas diretamente e inversamente proporcionais

A variação de uma grandeza pode variar outra grandeza, por exemplo: se observarmos os quilômetros percorridos por um carro (1º grandeza) e o combustível gasto (2º grandeza) por esse carro durante os quilômetros percorridos. A 2ª grandeza irá aumentar ou diminuir dependendo se a 1ª grandeza irá aumentar ou diminuir também.
Podemos dizer que grandezas proporcionais são grandezas que a sua variação interfere na variação de outra.
As grandezas proporcionais podem ser:
Grandezas inversamente proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais, explicando de uma forma mais informal, são grandezas que crescem juntas e diminuem juntas. Podemos dizer também que: São grandezas diretamente proporcionais se uma delas variar na mesma razão da outra. Isto é, duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica… E assim por diante.

Grandezas inversamente proporcionais, explicando de maneira informal, são grandezas que quando uma aumenta a outra diminui e vice-versa. Podemos dizer também que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da outra. Isto é, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz pela metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte… E assim por diante.

Exemplos:

1) A tabela relaciona as grandezas ”medidas do lado” e “perímetro” de um quadrado. Essas duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais?

Como podemos ver, enquanto a grandeza “medida do lado de um quadrado” aumenta ao outra grandeza “perímetro de um quadrado” também aumenta. Logo esta é uma grandeza diretamente proporcional.

2) A tabela relaciona as grandezas “quantidade de operários” e “tempo” para a construção de duas obras iguais, A e B. Essas duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais?
Como estamos vendo, enquanto a grandeza “quantidade de operários” aumenta, a grandeza “tempo” diminui. Logo esta é uma grandeza inversamente proporcional.

3) A velocidade constante de um carro e o tempo que esse carro gasta para dar uma volta completa em uma pista estão indicados na tabela a seguir:De acordo com a tabela, essas duas grandezas, “velocidade” e “tempo”, são direta ou inversamente proporcionais?
Observando a tabela, percebemos que se trata de uma grandeza inversamente proporcional, pois, a medida que uma grandeza aumenta a outra diminui.

Exercícios:

1) Mariana tem 60 sementes de flores para plantar em alguns vasos. Cada vaso deve receber o mesmo número de sementes.a) complete a tabela:
b) as grandezas são de que tipo, direta ou inversamente proporcionais? Por quê

2) Cinqüenta coelhos são alimentados durante quatro dias com certa quantidade de ração.
a) Se o número de coelhos for reduzido à metade, a quantidade de ração consumida deve aumentar ou diminuir?
b) O número de coelhos e a quantidade de ração consumida são grandezas inversamente proporcionais? Por quê?

3) Com um saco de ração alimento 12 galinhas durante 8 dias. Se aumentar o número de galinhas para 16, quantos dias vai durar um saco dessa ração?

4) Joaquim e Manuel trabalharam juntos em uma construção. Joaquim trabalhou durante 3 dias e Manuel durante 2 dias. O serviço todo rendeu para os dois juntos R$ 200,00.
a) Qual dos dois tem direito a ganhar mais? Por quê?
b) Se a divisão for justa, quanto deve ganhar cada um?
c) Escreva a razão entre os dias em que cada um trabalhou.
d) Escreva a razão entre a quantia que Joaquim recebeu e a que Manuel recebeu.
e) Essas razões formam uma proporção? Por quê?

5) Jaime e Juarez fizeram uma parceria para jogar na loteria. Jaime entrou com R$1,20 e Marcelo com R$1,80. Sabe o que aconteceu? Eles ganharam um prêmio de R$ 1500,00!
a) Qual dos dois deve receber a maior parte do prêmio? Por quê?
b) Calcule a parte justa que cada um deve receber desse prêmio.

Os exercícios acima estão sem resposta, que tal a sua participação no site resolvendo elas e postando para todos.

Esta matéria foi retirada do site Ensinando e Aprendendo matemática

Quer fazer mais exercícios clique no link ao lado: Site professor Guilherme

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21 Comentários
  1. Orlando permalink

    Muito bom. Os conteúdos são escritos numa linguagem muito acessível. Está de parabéns.

    • Obrigado Orlando, a idéia é esta mesmo ser simples com conteúdo fácil de aprender, futuramente tenho intenção de melhorar ainda mais o conteúdo com provas resolvidas, video aulas, exercícios e muito mais para que somente estudando por aqui você consiga passar em qualquer concurso.
      abraços
      eder

  2. Thays permalink

    Bem que poderia ter as provas resolvidas e vídeos aulas, íamos ficar expert. Mas já está ótimo com essas informações, estou adorando estudar por aqui.

    • Oi Thays estou gostando muito de saber que sempre estuda por aqui. Futuramente tenho intenção de colocar provas resolvidas e videos aulas, para quem estudar por aqui consiga passar em qualquer concurso, mas no momento não estou tendo tanto tempo para me dedicar ao site.
      abraços
      eder

  3. Priscila permalink

    Eder, fica uma dica, tem algumas matérias que você poderia aprofundar mais um pouco.
    E já que o pessoal, não estão postando as respostas, simplesmente pelo o fato de estas estarem provavelmente erradas, vc poderia trazer o resultado no fim da matéria, ficaria mais produtivo.
    Estou no aguardo de mais matérias, principalmente referente aos concursos de banco.
    Beijo!

    • Oi Priscila obrigado pela dica, mas confesso não entendi sua observação sobre as respostas estarem erradas. Você quis dizer as resposta colocadas no post pela pessoa que desenvolveu o artigo, ou artigos que não tem a resposta e poderia ser postado por algum concurseiro?
      Sobre aprofundar por enquanto fica difícil pois meu tempo é curto para dedicar ao site pois trabalho,inclusive peço ajuda do concurseiro e várias pessoas dizem que vão depositar para ajudar a manter o site, mas até hoje ninguém depositou. Então hoje não tenho como largar meu trabalho atual e me dedicar exclusivamente ao site. Estou migrando o site para um servidor pago para ver se consigo monetizar o site e assim conseguir melhorar os artigos.Tenho consciência que dá para melhorar muito os conteúdos, mas acredito que mesmo do jeito que está ele é bem melhor do que todas as apostilas que vendem por ai. Mais uma vez obrigado pelo interesse e adoraria sempre receber suas dicas
      abraços
      eder

  4. rafael permalink

    Muito Bom o site.
    Mas tem bastante teoria.
    seria bom se tivesse exercicios resolvidos.
    tipo esse conteudo nao estou conseguindo resolver as questoes.
    obrigado.

    semana que vem vou depoisitar 10 reias na conta mencionada.

    • Oi Rafael,Sobre aprofundar por enquanto fica difícil pois meu tempo é curto para dedicar ao site pois trabalho,inclusive peço ajuda do concurseiro e várias pessoas dizem que vão depositar para ajudar a manter o site, mas até hoje ninguém depositou, espero que com você seja diferente. Então hoje não tenho como largar meu trabalho atual e me dedicar exclusivamente ao site. Estou migrando o site para um servidor pago para ver se consigo monetizar o site e assim conseguir melhorar os artigos.Tenho consciência que dá para melhorar muito os conteúdos, mas acredito que mesmo do jeito que está ele é bem melhor do que todas as apostilas que vendem por ai. Mais uma vez obrigado pelo interesse e adoraria sempre receber suas dicas
      abraços
      eder

  5. Priscila permalink

    Eder gostaria que você postasse suas respostas, ou seja as questões poderiam estar resolvidas por você.
    No entanto se você deixar em aberto postagens de concurseiros, alguma resolução pode estar incorreta.
    Então você poderia postar a resposta :D
    Até mais
    Beijo

    • Oi Priscila agora entendi o que você queria dizer, mas reforço o que disse anteriormente eu apenas pesquiso na net o assunto em vários sites especializados e de professores e coloco o que acredito ter o melhor conteúdo, ou faço uma mistura formando um novo, mas sempre coloco as fontes. Sou formado em Ciências Econômicas e tenho conhecimento de muitas matérias mas não tenho tempo para revisar, por isso, deixo a cargo dos concurseiros a análise. Mas quando alguém questiona algum assunto eu pesquiso antes para saber se procede o que ele escreveu. Se ele realmente estiver certo eu altero a postagem corrigindo-a. Mais uma vez agradeço o interesse.
      abraços
      Eder

  6. Bola permalink

    http://www.professorguilherme.net Elaborado pelo Professor Guilherme Mendes

    GRANDEZAS PROPORCIONAIS

    Números diretamente e inversamente proporcionais

    1) Verifique se os números 9, 20 e 25 são diretamente proporcionais aos números 18, 40 e 50.

    simplificando por nove em cima e embaixo =

    simplificando por vinte em cima e embaixo =

    simplificando por vinte e cinco em cima e embaixo =

    Logo, concluímos que = = =

    Os números dados são diretamente proporcionais.

    2) Os números 6, 21, 35 e 420, 120, 72 são inversamente proporcionais. Essa afirmação é correta?

    6×420 = 2520

    21×120= 2520

    35×72= 2520

    A afirmação é correta!

    3) São dadas duas seqüências de números: A= (3, a, 27) e B= (1, 2, b). Sabe-se que os números da seqüência A são diretamente proporcionais aos números da seqüência B. Quais são os valores de “a” e “b”?

    Determinando o valor de “a”

    a.1= 3.2 à a= 6

    Determinando o valor de “b”

    3.b= 1.27 à 3.b= 27 à à b= 9

    Então, a= 6 ; b= 9

    Simples prova real:

    4) Sabe-se que os números da seqüência (4,5,10) são inversamente proporcionais aos números da sequencia (x,96,y). Nessas condições, descubra o valor de “x” e “y”.

    4.x= 5.96 = 10.y

    Determinando x

    4.x= 5.96 4.x= 480 à à x= 120

    Determinando y

    10.y= 5.96 à 10.y= 480 à à y= 48

    Então, x= 120 ; y= 48

    Prova real:

    4.120= 5.96 = 10. 48

    480 = 480 = 480

    5) São dados três números a,b,c, tais que a+b+c=72. Sabendo que os números a,b,c, são diretamente proporcionais aos números 2,4,3, determine a,b,c.

    e a+b+c=72

    à a= 2.x

    à b= 4.x

    à c= 3.x

    Vamos substituir na equação: a+b+c=72 à 2x+4x+3x= 72

    9x= 72 à à x= 8

    Substituindo em a,b,c

    a= 2.x à a=2.8 à a= 16

    b= 4.x à b= 4.8 à b= 32

    c= 3.x à c= 3.8 à c= 24

    6) Deseja-se repartir 240 em três parcelas inversamente proporcionais aos números 2,10,5. Determine essas parcelas.

    Vamos indicar as parcelas por a,b,c, tais que a.2=b.10=c.5= x

    2a=x à

    10b=x à

    5c= x à

    a+b+c= 240 à substituindo à

    Fazer o m.m.c com 2 , 10 e 5

    2 vezes 5 = 10

    Divide pelo debaixo e multiplica pelo de cima à

    8x= 2400 à à x=300

    Determinando os valores de a,b,c

    à à a= 150

    à à b= 30

    à à c= 60

    As parcelas procuradas são 150, 30 e 60.

    7) Para rebocar uma parede será necessário preparar 420kg de uma mistura com cimento, saibro e areia em partes diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 4. Determine quantos quilogramas de cimento são necessários para fazer essa mistura.

    a= quantidade de cimento

    b= quantidade de saibro

    c= quantidade de areia

    à a= x

    à b= 2.x

    à c= 4.x

    a+b+c=420 à x+2x+4x= 420 à 7x=420 à à x=60

    Se a=x à são necessários 60kg de cimento.

    8) O senhor José tem 3 filhos nascidos, respectivamente, em 01/01/1988, 01/01/1992 e 01/01/1994. Em testamento, ele estipulou que sua fortuna deveria ser repartida de tal forma que os valores fosse, diretamente proporcionais as idades de cada um. Sabendo que o testamento foi cumprido em 01/01/2004 e que o valor a ser repartido é de R$7600000,00 ; qual a quantia que coube a cada filho?

    a= 2004 – 1988= 16 anos

    b= 2004 – 1992= 12 anos

    c= 2004 – 1994= 10 anos

    à a= 16x

    à b= 12x

    à c= 10x

    a+b+c= 7 600 000 à 16x+12x+10x= 7 600 000

    38x= 7 600 000 à à x= 200 000

    Determinando os valores de cada filho:

    a=16x à a= 16. 200 000 à a= 3 200 000

    b= 12x à b= 12. 200 000 à b= 2 400 000

    c= 10X à c= 10. 200 000 à c= 2 000 000

    Os filhos devem receber, respectivamente,

    R$ 3 200 000,00 ; R$ 2 400 000,00 e R$ 2 000 000,00

    9) A quantia de R$ 1280,00 deverá ser repartida entre 3 pessoas. Quanto receberá cada uma se:

    a) a divisão for feitas em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7?

    à a= 8x

    à b= 5x

    à c= 7x

    a+b+c=1280

    8x+5x+7x=1280

    20x= 1280 à à x= 64

    Determinando a,b,c

    a=8x à a=8.64 à a= 512

    b=5x à b=5.64 à b= 320

    c= 7x à c=7.64 à c= 448

    As quantias serão 512, 320 e 448 reais, respectivamente.

    b) a divisão for feita em partes inversamente proporcionais a 5,2 e 10?

    5a=x 2b=x 10c=x

    a+b+c= 1280

    à fazendo o m.m.c entre 5,2 e 10 à

    2 vezes 5 = 10

    Divide pelo debaixo e multiplica pelo de cima à

    8x= 12800 à à x= 1600

    Determinando os valores de a,b,c

    à à a= 320

    à à b= 800

    à à c= 160

    Cada pessoa receberá R$320 ; R$ 800 e R$160 reais, respectivamente.

    10) Um terreno de 5400 metros quadrados foi dividido em 4 lotes quadrados com as seguintes áreas: a2, b2, c2 e d2. Se os valores de a2, b2, c2 e d2 são diretamente proporcionais aos números 4, 9, 16 e 25, qual é o valor da expressão 2a-3b+2c-3d?

    à a2= 4x

    à b2= 9x

    à c2= 16x

    à d2= 25x

    a2 + b2+ c2 + d2= 5400

    4x+9x+16x+25x=5400 à 54x= 5400 à à x= 100

    Determinado os valores de a,b,c,d

    a2= 4x à a2= 4.100 à a2= 400 à à a=20

    b2= 9x à b2= 9.100 à b2= 900 à à b=30

    c2= 16x à c2= 16.100 à c2= 1600 à à c=40

    d2= 25x à d2= 25.100 à d2= 2500 à à d=50

    Calculando o valor da expressão:

    2a-3b+2c-3d

    2.20-3.30+2.40-3.50

    40-90+80-150

    +120 – 240

    -120

    O valor da expressão é -120

    11) Sabendo que um trem viaja a uma velocidade constante de 80km/h, podemos organizar a tabela:

    Tempo de viagem
    Distância percorrida

    1h
    80km

    2h
    160km

    Nessas condições, responda:

    a) Quando o tempo de viagem passa de 1h para 2h, ele varia em que razão?

    b) A distância percorrida, quando passa de 80km para 160km, varia em que razão?

    simplificando à

    c) Como são as razão: iguais ou inversas?

    São iguais!

    d) O tempo de viagem e a distância percorrida são grandezas direta ou inversamente proporcionais?

    Diretamente proporcionais.

    12) A tabela a seguir, relaciona o numero de torneiras com o tempo que elas gastam para encher um reservatório.

    Número de torneiras
    Tempo

    6
    15min

    3
    30min

    a) Quando o numero de torneiras passa de 6 para 3, esse numero varia em que razão?

    simplificando à 2

    b) Quando o tempo passa de 15min para 30 min, esse numero varia em que razão?

    simplificando à

    c) Como são as razoes: iguais ou inversas?

    São inversas!

    d) O numero de torneiras e o tempo que elas gastam para encher um reservatório são grandezas direta ou inversamente proporcionais?

    Inversamente proporcionais!

    13) Duas porções de uma mesma substância foram medidas e pesadas. Seus volumes e respectivas massas estão relacionados na tabela a seguir:

    Volume
    Massa

    20cm3
    12g

    30cm3
    18g

    a) Quando o volume passa de 20cm3 para 30cm3, ele varia em que razão?

    simplificando à

    b) Quando a massa passa de 12g para 18g, ela varia em que razão?

    simplificando à

    c) Como são as razoes: iguais ou inversas?

    São iguais!

    d) AS grandezas envolvidas no problema (massa e volume) são diretamente ou inversamente proporcionais?

    Diretamente proporcionais!

    14) Uma pessoa mediu o volume de água num aquário alimentado por uma torneira em dois instantes e relacionou o volume e o instante correspondente na seguinte tabela:

    Volume
    Tempo

    120 litros
    5min

    360 litros
    15min

    a) Quando o tempo passa de 5 minutos para 15 minutos, ele varia em que razão?

    simplificando à

    b) Quando o volume passa de 120 litros para 360 litros, ele varia em que razão?

    simplificando à

    c) Como são as razoes: iguais ou inversas?

    São iguais!

    d) AS grandezas envolvidas neste problema (tempo e volume) são direta ou inversamente proporcionais?

    São diretamente proporcionais!

    15) A tabela a seguir relaciona o número de operários com o tempo necessário para eles construírem um barracão:

    Número de operários
    Tempo

    12
    30 dias

    20
    18 dias

    a) Quando o número de operários passa de 12 para 20, ele varia em que razão?

    simplificando à

    b) Quando o tempo varia de 30 dias para 18 dias, ele varia em que razão?

    simplificando à

    c) Como são as razoes: iguais ou inversas?

    São inversas!

    d) O número de operários e o tempo que eles gastam para construir o barracão são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

    Inversamente proporcionais!

    16) Pense um pouco e responda se as grandezas envolvidas nas afirmações a seguir são diretamente ou inversamente proporcionais.

    a) O número de questões certas de mesmo peso em uma prova e a nota final obtida.

    São diretamente proporcionais!

    b) Velocidade de um ônibus e o tempo gasto para se deslocar de uma cidade para outra.

    São inversamente proporcionais!

    c) Número de notas de 100 reais e a quantia que se tem.

    São diretamente proporcionais!

    d) Medida do lado de um quadrado e o perímetro desse quadrado.

    São diretamente proporcionais!

    • Obrigado pela postagem, são concurseiros como você que enriquece o site
      abraços
      Eder

  7. carla beatriz morais de macedo permalink

    queria ajuda para responder a 3 aquela das 12 galinhas

    • Oi Carla a resposta é que são inversamente proporcionais. Caso queira a resposta em números serão 6 dias que a ração irá durar. É só fazer a regra de três. Como são inversas é só multiplicar reto, ou seja, 12 x 8 dividido por 16
      abraços espero ter ajudado.

  8. Marcela permalink

    Por favor, será que alguém poderia me fornecer o passo a passo da questão:

    1) Mariana tem 60 sementes de flores para plantar em alguns vasos. Cada vaso deve receber o mesmo número de sementes.a) complete a tabela:

    vaso número de semente por vaso
    5 X
    6 X
    10 X
    12 X

    • Oi Mariana esta questão é simples. Ela é inversamente proporcional por que conforme o número de vasos aumenta diminui o número de sementes dentro dele.
      Nesta questão é só dividir as sementes pelo número de vasos. 5 vasos= 12 sementes cada um; 6 vasos= 10 sementes cada um; 10 vasos= 6 sementes cada um e 12 vasos= 5 sementes cada um.
      Espero ter te ajudado
      abraços
      Eder

  9. Marcela permalink

    Eder, obrigada pelo retorno.

    Mas, neste caso, ou o enunciado está errado ou sua resposta, pois pela sua resposta dá um total de 240 sementes distribuídos pelos vasos. Mas, no enunciado diz que Mariana tem 60 sementes para distribuir por alguns vasos e pede que descubra quantas sementes CADA vaso receberá. Se vc coloca 12, COMO NO PRIMEIRO CASO, o total já será 60. O enunciado pede o número de sementes para cada vaso. Ela tem 33 vasos no total e 60 sementes para distribuir igualmente entre eles. Foi isso que eu entendi no enunciado. Se fosse 60 sementes para cada vaso, ai sim a conta de dividir por cada um.

    • 1) Mariana tem 60 sementes de flores para plantar em alguns vasos. Cada vaso deve receber o mesmo número de sementes.a) complete a tabela:
      b) as grandezas são de que tipo, direta ou inversamente proporcionais? Por quê

      Oi Marcela pelo que entendi estamos trabalhando com grandezas, então cada número de vasos é uma situação já que eles devem receber o mesmo número de sementes.
      A questão quer mostrar que quanto maior o número de vasos menor será o número de semente dentro deles.
      Se fosse analisar como se ela tivesse todos estes vasos era só pegar o número de semente e dividir pela quantidade de vasos uma única vez e assim não caracterizaria a grandeza
      Caso ainda não concorde comigo posta um comentário.
      abraços
      eder

  10. Felipe permalink

    eder :
    1) Mariana tem 60 sementes de flores para plantar em alguns vasos. Cada vaso deve receber o mesmo número de sementes.a) complete a tabela:
    b) as grandezas são de que tipo, direta ou inversamente proporcionais? Por quê
    Oi Marcela pelo que entendi estamos trabalhando com grandezas, então cada número de vasos é uma situação já que eles devem receber o mesmo número de sementes.
    A questão quer mostrar que quanto maior o número de vasos menor será o número de semente dentro deles.
    Se fosse analisar como se ela tivesse todos estes vasos era só pegar o número de semente e dividir pela quantidade de vasos uma única vez e assim não caracterizaria a grandeza
    Caso ainda não concorde comigo posta um comentário.
    abraços
    eder

  11. Felipe permalink

    João ganhou um prêmio na loteria no valor de 220,00 e pensou em duas maneiras de divi-lo entre seus tres filhos de acordo com suas iidades .As idades dos filhos de João são 2,3 e 6 anos.
    a) Se cada filho ganhar uma quantia inversamente proporcional a sua idade quanto cada um recebe-rá ? e a taxa percentuas caberá a cada filho?
    B)E se cada filho ganhar uma quantia diretamente proporcional a sua idade, quanto recebe-rá? e a taxa percentuas caberá a cada filho?

    • kleber penha permalink

      separamos os filhos em A,B e C, respectivamente.
      A+B+C=220
      para quantias inversamente proporcionais às idades,temos:
      A=x/2
      B=x/3
      C=x/6
      mmc de 2,3 e 6 = 6,dividimos pelo denominador e multiplicamos pelo numerador,dessa forma chegamos a:
      3x+2x+x
      ———– =220 ,o 6 passa multiplicando e ficamos com 3x+2x+x=1320 , 6x=1320 , x=220
      6
      agora encontraremos os valores de A,B e C:
      A=220/2=110 = 50%
      B=220/3=73,33 = 33,3318%
      C=220/6=36,66 = 16,6682%
      para achar o percentual é só aplicar a regra de três.

      agora, para quantias diretamente proporcionais,temos:
      A=2x
      B=3x
      C=6x
      A+B+C=220
      2X+3X+6X=220 , 11X=220 , X=220/11=20
      agora encontraremos os valores de A,B e C:
      A=2*20=40 = 18,18%
      B=3*20=60 = 27,27%
      C=6*20=120 = 54,55%

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