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Múltiplos e divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum

11/04/2011

Múltiplos e divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum


Múltiplos e divisores de um número
Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero.

Exemplo:

Observe as seguintes divisões entre números Naturais:

1- 10/2 = 5 resto 0

2- 12/3 = 4 resto 0

3- 15/3 = 5 resto 0

4- 9/2 = 4 resto 1

5- 15/4 = 3 resto 3

As Primeiras divisões têm resto zero. Chamam-se divisões exatas. As duas últimas têm resto diferente

de zero. Chamamos de divisão inteira. Um número é divisor do outro se o segundo é múltiplo do

primeiro.


O número 10 é múltiplo de 2; 12 é múltiplo de 3; 15 também é múltiplo de 3; mas 9 não é múltiplo

de 2; e 15 não é múltiplo de 4.
Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é,

M(5):

M(2) = {0,2,4,6,8,…}.
M(5) = {0,5,10,15,20,…}

Para lembrar:

O conjunto dos múltiplos de um número Natural não-nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números Naturais.

Observe:
M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,…} = {0,3,6,9,12,15,18,…}

Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. Diremos que um número

é divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro.
No exemplo anterior, observamos que o número 10 é múltiplo de 2, conseqüentemente 2 é

divisor de 10.

Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto, 3 e 5 são divisores de 12 e 15, respectivamente.

Vamos agora escrever o conjunto dos divisores de 15, indicado por D(15), e dos divisores de 20, isto é,

D(20):

D(15) = {1,3,5,15}
D(20) = {1,2,4,5,10,20}

Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural não-nulo é sempre um conjunto finito,

em que o menor elemento é o 1 e o maior é o próprio número.

Critérios de divisibilidade
Os critérios de divisibilidade são uma série de regras para averiguar se um número é ou não múltiplo

de outro, sem a necessidade de efetuar a divisão de um pelo outro, principalmente quando os

números são grandes.
Veja, em seguida, os critérios de divisibilidade mais comuns:

Divisibilidade por 2

Olhe para o conjunto dos múltiplos de 2, M(2), exposto acima. Observe que todos os elementos desse

conjunto terminam em algarismo par. Assim, podemos dizer que um número é divisível por 2 se o

algarismo das unidades for par.

Exemplo:

Os números 22, 30, 68, 650, 3 285 416 são múltiplos de 2 porque terminam em algarismo par.

Os números 7, 15, 201, 1 483, 186 749 não são múltiplos de 2, pois nenhum deles termina em

algarismo par.

Divisibilidade por 3

Observe, agora, o conjunto M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,…}. Repare que a soma dos algarismos de todos

estes números é múltiplo de 3. Assim, um número é divisível por 3 quando a soma de todos os seus

algarismos é múltiplo de 3.

Exemplo:

Sem fazer a divisão, vamos comprovar que o número 34 572 é divisível por 3: 3 + 4 + 5 + 7 + 2 = 21,

mas pode acontecer de não sabermos se 21 é ou não múltiplo de 3. Repetimos o método agora com o

número 21, em que 2 + 1 = 3. Sabemos que 3 é múltiplo de si mesmo, portanto, 21 é divisível por 3,

isto é, 21 é múltiplo de 3 e, conseqüentemente, 34 572 é divisível por 3.

Divisibilidade por 5

Observe o algarismo das unidades dos números do conjunto
M(5) = {0,5,10,15,20,25,30,35,…}.
É fácil perceber que eles terminam em zero ou em 5. Assim, um número é divisível por 5 quando

termina em zero ou em 5.

Exemplo:

Os números 20, 210, 2 105 são divisíveis por 5, pois o primeiro e o segundo terminam em zero e o

terceiro em 5.

Divisibilidade por 9

Dado M(9) = {0,9,18,27,36,45,…} verificamos uma característica semelhante ao critério de

divisibilidade por 3. Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é 9 ou múltiplo

de 9.

Exemplo:

O número 14 985 é divisível por 9?

1 + 4 + 9 + 8 + 5 = 27

Se não soubermos se 27 é ou não múltiplo de 9, repetimos a operação agora com 27:

2 + 7 = 9

Portanto, 27 é divisível por 9, isto é, 27 é múltiplo de 9 e, conseqüentemente, 14 985 é divisível por 9.


Para lembrar:

Decompor um número composto em fatores primos significa expressar este número como produto de outros que sejam primos.
Exemplo:

Queremos decompor o número 40 em fatores primos.

40 2  (40 é divisível por 2, termina em 0)  40/2 = 20
20 2  (20 é divisível por 2, termina em 0)  20/2 = 10
10 2  (10 é divisível por 2, termina em 0)  10/2 = 5
5 5  (5 é primo. Divide-se por si mesmo)  5/5 = 1
1

A decomposição de 40 em fatores primos é:
2 X 2 X 2 X 5 = 23 X 5

Máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números
O máximo divisor comum de dois ou mais números Naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns

desses números.

Para calcular o m.d.c. de dois ou mais números, devemos seguir uma série de etapas:

Decompomos os números em fatores primos.
Tomamos os fatores comuns com o menor expoente.
Multiplicamos esses fatores entre si.
Exemplo:

Vamos calcular o m.d.c. dos números 15 e 24. Para isto, vamos decompô-los em fatores primos:

15 3
5 5
1
24 2
12 2
6 2
3 3
1
15 = 3 X 5 e 24 = 23 X 3
O fator comum é 3
E 1 é o menor expoente dentre todos.
O m.d.c de 15,24 = 3
Exemplo:

Queremos calcular o m.d.c. de 20 e 21.

20 2
10 2
5 5
1
21 3
7 7
1
20 = 22 X 5 e 21 = 3 X 7
O fator comum é 1 

O m.d.c. (20, 21) = 1

Para lembrar:

Dizemos que dois números Naturais distintos são Primos entre si quando seu m.d.c. é 1.

Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números

Naturais não-nulos
É o menor número, diferente de zero, que é múltiplo comum desses números.
Para calcular o m.m.c. de dois ou mais números, devemos seguir também uma série de etapas:

Decompomos os números em fatores primos.
Tomamos os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente.
Multiplicamos esses fatores entre si.
Exemplo:

Calculemos o m.m.c. dos números do primeiro exemplo, 15 e 24.

Como já foram decompostos em fatores primos, temos:

15 = 3 X 5 24 = 23 X 3 Os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente são 23, 3 e 5
Assim, o m.m.c. (15, 24) = 23 X 3 X 5 = 120
Exemplo:

Calculemos o m.m.c. dos números do segundo exemplo, 20 e 21.

20 = 22X 5 21 = 7 X 3 Os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente são 22, 3, 5 e 7.
O m.m.c. (20, 21) = 22 X  3  X  5 X 7 =  420

Relação entre o m.d.c. e o m.m.c. de dois números


O produto de dois números é igual ao produto de seu m.d.c. por seu m.m.c.

Exemplo:

Vamos calcular o m.d.c. e o m.m.c. de 30 e 50:

30 2
15 3
5 5
1
50 2
25 5
5 5
1
30 = 2 X 3 X 5 50 = 2 X 52O m.d.c. (30, 50) = 2 X 5 = 10

O m.m.c. (30, 50) = 2 X 3 X 52

= 150

Comprove, agora, a relação. Para tanto: Multiplique o m.d.c. e o m.m.c.:

10 X 150 = 1 500

Em seguida, multiplique os dois números:

30 X 50 = 1 500
EXERCÍCIOS 

1. Calcular o m.d.c. e o m.m.c. dos números 24 e 180.
2. Quais dos seguintes números são Primos: 89, 504, 37, 18 e 243?
3. Achar todos os divisores de 50. Assinalar os que forem números Primos.
4. Dos seis números seguintes, indicar os que forem divisíveis por 2, 5 e 10: 2 418, 5 250, 633, 1 562, 13 000 e 125.
5. Qual algarismo devemos colocar no lugar de a, no número 546 a 20, para que esse número seja divisível por 3?
6. Escrever os seguintes números como produto de fatores primos: 225, 568 e 150.

Esta matéria foi retirada do site Click Educação

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14 Comentários
  1. outra materia escelente!!
    parabens

  2. Romulo kennedy costa Link Permanente

    Conteúdo “fera”

  3. não entendi a 5ª questão, poderia explicá-la por favor?

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      abraços
      Eder

  4. Andrey Felipe Link Permanente

    Exelente matéria esse site esta me ajudando muito msm vlw!!!!!!!!!

  5. Weberlândia Farias Dinis Link Permanente

    estou desesperada para a prova dos correios, espero que este site possa mesmo me ajudar, abraços

  6. Marcos Felipe Barros de Sá Link Permanente

    A melhor matéria do mundo, quando for prova de matemática, eu vou estudar nesse site

  7. vc poderia colocar as respostas ai ne , para sabermos se acertamos as questões .
    E valeu materia muito boa , ja tinha esquecido disso faz tempo .

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