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Matrizes, determinantes e sistemas lineares

21/01/2011

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Se Você quer apenas um resumo clique no link abaixo:

Resumo de matrizes_determinantes_sistemas_lineares

Se além da matéria que esta postado aqui, você quiser aprofundar mais clique no link abaixo e leia a apostila preparada pela Faculdade Assis Gurgacz de Cascavél PR:

Matrizes, determinantes, sistemas lineares e inversa

Acredito que esta matéria esta bem completa então é só estudar, boa sorte!

Matrizes e Determinantes I

Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela retangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e ncolunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n)

Exemplos:

A = ( 1 0 2 -4 5) ® Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5)

B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1.

Notas:

1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.

Exemplo:

A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3×3 , dita simplesmente de ordem 3 .

2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn , onde aij é um elemento da linha i e coluna j da matriz.

Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a23 = 2 , a31 = 4 , a33 = 3 , a3,2 = 5 , etc.

3) Matriz Identidade de ordem n : In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i ¹ j .

Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2×2 ou simplesmente de ordem 2 é:

A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3×3 ou simplesmente de ordem 3 é:

4) Transposta de um matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa.

Exemplo:

A matriz At é a matriz transposta da matriz A .

Notas:

4.1) se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica.

4.2) Se A = – At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas .

4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At = 0 (matriz nula) .

Produto de matrizes

Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , tem de ser igual ao número de linhas de B.

Amxn x Bnxq = Cmxq

Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q .
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:

Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma:

L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos:
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:

Observe que o produto de uma matriz de ordem 3×2 por outra 2×3, resultou na matriz produto P
de ordem 3×3.
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B ¹ B x A

DETERMINANTES

Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas .

É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante .

Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:

  • O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :
  • det (A) = ½ A½ = ad – bc

Exemplo:

Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 ( Relação Fundamental da Trigonometria ) . Portanto, o determinante da matriz dada é igual à unidade.

Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).

SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 – 1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833.

Nota: São escassas, e eu diria, inexistentes, as informações sobre o Prof. SARRUS nos livros de Matemática do segundo grau, que apresentam (ou mais simplesmente apenas citam) o nome do professor, na forma REGRA DE SARRUS, para o cálculo dos determinantes de terceira ordem. Graças ao Prof. José Porto da Silveira – da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, pudemos disponibilizar a valiosa informação acima! O Prof. SARRUS, foi premiado pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de um trabalho que versava sobre as integrais múltiplas, assunto que vocês estudarão na disciplina Cálculo III, quando chegarem à Universidade.

Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira:

1 – Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante.

2 – Efetue os produtos em “diagonal” , atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita.

3 – Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada.

Exemplo:

.2 3 5
.1 7 4

Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 77.

Principais propriedades dos determinantes

P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.

P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( At ).

P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo.
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.

P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.

P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo.

P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.

P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer.

P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) .

Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a matriz identidade de ordem n . Nestas condições , podemos afirmar que det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1 ;
logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A).

Notas:

1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL .

2) se det A ¹ 0 , então a matriz inversa A-1 existe e é única . Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .

P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n , forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k Î R então det(k.A) = kn . det A

Exemplos:

1) Qual o determinante associado à matriz?

Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO.

2) Calcule o determinante:

Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA Þ DETERMINANTE NULO , conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0.

3) Calcule o determinante:

Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90

Exercícios propostos:

1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:

*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20

2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i ¹ j .
Se det (3A) = 1296 , então n é igual a:
Resposta: n = 4

3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde aij = i + j se i ³ j ou aij = i – j se i < j.
Qual o determinante de A?
Resposta: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 82

4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i – j então podemos afirmar que o determinante da matriz 5 A é igual a:
Resposta: zero

Matrizes e Determinantes II

1 – Definições:

1.1 – Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3×3) A a seguir :

Podemos escrever:
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:

Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos como exercício!

1.2 – Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof ( aij ) = (-1 ) i+j . Dij .
Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a:
cof(a23) = (-1)2+3 . D23 = (-1)5 . 10 = – 10.

2 – Teorema de Laplace

  • O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
  • Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.
  • Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.
  • Pierre Simon Laplace – (1749-1827) – Matemático e astrônomo francês.

3 – Cálculo da inversa de uma matriz.

a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde Ié a matriz identidade de ordem n.

b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator.
Símbolo: cof A .

c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz:

Onde: A-1 = matriz inversa de A;
det A = determinante da matriz A;
(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A .

Exercícios propostos

1 – Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i – j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a:

*a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -4

2 – UFBA-90 – Calcule o determinante da matriz:

Resposta: 15

3 – Considere a matriz A = (aij)4×4 definida por aij = 1 se i ³ j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária.
Resposta: 12

4 – As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A.
Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:

*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20

5 – Dadas as matrizes A = (aij)3×4 e B = (bij)4×1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento c12 da matriz C = A.B é:

a)12
b) 11
c) 10
d) 9
*e) inexistente

Uma matriz inversível

FUVEST – 1999 – 1ª fase – Se A é uma matriz 2×2 inversível que satisfaz 2A = A2, então o determinante de A será:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

SOLUÇÃO:

Diz-se que uma matriz é inversível, quando o seu determinante é um número diferente de zero.
Se 2 A = A2, então os seus determinantes são iguais, ou seja: det(2 A) = det(A2)

Sabemos que sendo det(A) o determinante de uma matriz de ordem n, podemos dizer que det(k.A) onde k é um número inteiro positivo, será igual a kn . det(A). Para revisar, clique AQUI.

Portanto, como n = 2 (ordem da matriz), vem:
det(2 A) = 22.det(A)

Sabemos também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto das matrizes, ou seja:
det(A.B) = det(A).det(B).

Então, det(A2) = det(A . A) = det(A).det(A)

Substituindo na igualdade det(2 A) = det(A2), as expressões obtidas anteriormente, vem:
22.det(A) = det(A).det(A)
4.det(A) – [det(A)]2 = 0

Colocando det(A) em evidencia, fica:
det(A).[4 – det(A)] = 0

Daí, conclui-se que det(A) = 0 OU det(A) = 4. Como é dito que a matriz A é inversível, o seu determinante é não nulo e, portanto, a solução det(A) = 0 não serve. Portanto, det(A) = 4, e a alternativa correta é a de letra E.

Sistemas Lineares I

1 – Equação linear

Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, … , x, como sendo a equação da forma
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + … + an.xn = b onde a1, a2, a3, … an e b são números reais ou complexos.
a1, a2, a3, … an são denominados coeficientes e b, termo independente.

Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.

Exemplos de equações lineares:

2x1+3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2,coeficientes 2 e 3,e termo independente7)

3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)

2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)

-x1 + 3x2 -7x3 + x4 = 1 (variáveis x1, x2 , x3 e x4, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e termo independente 1)

2x + 3y + z – 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo).
Logo, este é um exemplo de equação linear homogênea.

2 – A solução de uma equação linear

Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variável), que são as equações de primeiro grau. Por exemplo: 2x + 8 = 36, nos leva à solução única x = 14. Já, se tivermos uma equação com duas incógnitas (variáveis), por exemplo x + y = 10, a solução não é única, já que poderemos ter um número infinito de pares ordenados que satisfazem à equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 [par ordenado (4,6)], x = 3/2 e y 17/2 [par ordenado (3/2,17/2)], … , etc.

Consideremos agora, uma equação com 3 incógnitas.

Seja por exemplo: x + y + z = 5

As soluções, serão x=1, y=4 e z=0, uma vez que 1+4+0 =5; x=3, y=7 e z=-5, uma vez que 
3+7- 5=5; x=10, y=-9 e y=4 (uma vez que 10-9+4=5);  , que são compostas por 3 elementos, o que nos leva a afirmar que as soluções são osternos ordenados (1,4,0), (3,7,-5) , (10, -9, 4), … , ou seja, existem infinitas soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada.

De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, são pares ordenados; de três variáveis, são ternos ordenados; de quatrovariáveis, são quadrasordenadas;  .
Se a equação linear possuir n variáveis, dizemos que as soluções são n – uplas (lê-se ênuplas) ordenadas.

Assim, se a ênupla ordenada (r1, r2, r3 , … , rn) é solução da equação linear
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + … + an.xn = bisto significa que a igualdade é satisfeita para
x1 = r1, x2 = r2 , x3 = r3 , … , xn = rn e poderemos escrever:
a1.r1 + a2.r2 + a3.r3 + … + an.rn = b.

3 – Exercícios resolvidos:

1 – Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x – 7y + 2z = 5, qual o valor de p?

Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p,
6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 – 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e portanto, p = 14.

2 – Escreva a solução genérica para a equação linear 5x – 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado
(a , b , g ) é solução.

Solução: Podemos escrever: 5a – 2b + g = 14. Daí, tiramos: g = 14 – 5a + 2b . Portanto, a solução genérica será o terno ordenado (a , b , 14 – 5a+ 2b ).

Observe que arbitrando-se os valores para a e b , a terceira variável ficará determinada em função desses valores. Por exemplo, fazendo-se a = 1, b= 3, teremos
g = 14 – 5a + 2b = 14 – 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. Verificamos pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado
(a , b , 14 – 5a + 2b ) a solução genérica.

Agora resolva estes:

1 – Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1?
Resposta : S = f

2 – Determine o valor de 6p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) é solução da equação
3x + 4y – 5z + 2t = 10.
Resposta : -17

Sistemas Lineares II

1 – Sistema linear

É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x1, x2, x3, … , xn) do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3
………………………………………………………..
………………………………………………………..
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bn

Exemplo:
3x + 2y – 5z = -8
4x – 3y + 2z = 4
7x + 2y – 3z = 2
0x + 0y + z = 3

Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).
Os termos a11, a12, … , a1n, … , am1, am2, …, amn são denominados coeficientes e b1, b2, … , bn são os termos independentes.
A ênupla (a 1, a 2 , a 3 , … , a n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas as m equações.

Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:
x + y + 2z = 7
3x + 2y – z = 11
x + 2z = 4
3x – y – z = 2
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.

Notas:
1 – Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções.
Exemplo: Os sistemas lineares

S1: 2x + 3y = 12
3x – 2y = 5
S2: 5x – 2y = 11
6x + y = 20

são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!

2 – Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.

3 – Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.

4 – Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.

5 – Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO.

6 – Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja
b1 = b2 = b3 = … = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.

Exemplo:
x + y + 2z = 0
2x – 3y + 5z = 0
5x – 2y + z = 0

2 – Exercícios Resolvidos

2.1 – UEL – 84 (Universidade Estadual de Londrina)
Se os sistemas

S1: x + y = 1
x – 2y = -5
S2: ax – by = 5
ay – bx = -1

são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:

a) 1
b) 4
c) 5
d) 9
e) 10

Solução:

Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S1:
x + y = 1
x – 2y = -5

Subtraindo membro a membro, vem: x – x + y – (-2y) = 1 – (-5). Logo, 3y = 6 \ y = 2.
Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1.
O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.

Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem:
a(-1) – b(2) = 5 Þ – a – 2b = 5
a(2) – b (-1) = -1 Þ 2 a + b = -1
Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica:
-2 a – 4b = 10
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho),
fica: -3b = 9 \ b = – 3
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em azul), teremos:
2 a + (-3) = -1 \ a = 1.
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.
Portanto a alternativa correta é a letra E.

2.2 – Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,
2x – my = 10
3x + 5y = 8, seja impossível.

Solução:
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:
x = (10 + my) / 2
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:
3[(10+my) / 2] + 5y = 8

Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:
3(10+my) + 10y = 16
30 + 3my + 10y = 16
(3m + 10)y = -14
y = -14 / (3m + 10)

Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos,NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.

Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução.

Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas:

a) 2x + 5y .- ..z = 10
………….3y + 2z = ..9
…………………3z = 15

b) 3x – 4y = 13
…..6x – 8y = 26

c) 2x + 5y = 6
….8x + 20y = 18

Resposta:
a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)}
b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções.
c) sistema impossível. Não admite soluções.

Sistemas Lineares III

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento

Karl Friedrich Gauss – astrônomo, matemático e físico alemão – 1777/1855.

O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:

T1 – um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x – 2y = 6

5x – 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

T2 – um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
3x + 2y – z = 5
2x + y + z = 7
x – 2y + 3z = 1

3x + 2y – z = 5
2x + y + z = 7
3x – 6y + 9z = 3
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3.

T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.

Exemplo: os sistemas
15x – 3y = 22
5x + 2y = 32

15x – 3y = 22
…… – 9y = – 74
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).

Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento.

Seja o sistema de equações lineares:
. x + 3y – 2z = 3 .Equação 1
2x . – .y + z = 12 Equação 2
4x + 3y – 5z = 6 .Equação 3

SOLUÇÃO:
1 – Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem:
2x .-…y + z = 12
x ..+ 3y – 2z = 3
4x + 3y – 5z = 6

2 – Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) – uso da transformação T2 – somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido – uso da transformação T3 – vem:
2x – ..y + z = 12
…..- 7y + 5z = 6
4x + 3y – 5z = 6

3 – Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem:
2x – ..y + ..z = …12
…..- 7y + 5z = ….6
……..5y – 7z = – 18

4 – Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:
2x -…..y + ….z =….12
…..- 35y +25z =… 30
…….35y – 49z = -126

5 – Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem:
2x – …..y + ….z = ..12
…..- 35y + 25z = ..30
……………- 24z = – 96

6 – Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4.
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas:
Teremos: – 35y + 25(4) = 30 \ y = 2.
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica:
2x – 2 + 4 = 12 \ x = 5.
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) :
S = { (5, 2, 4) }

Verificação:

Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:
5 + 3(2) – 2(4) = 3
2(5) – (2) + (4) = 12
4(5) + 3(2) – 5(4) = 6
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado.

Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso objetivo era escrever o sistema na forma
ax + by + cz = k1
dy + ez = k2
fz = k3
de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k3 / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Este é o caminho comum para qualquer sistema.

É importante ressaltar que se em z = k3 / f , tivermos:
a) f ¹ 0 , o sistema é possível e determinado.
b) f = 0 e k3 ¹ 0 , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos
c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = f .
d) f = 0 e k3 = 0 , o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número infinito de soluções.

Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, a não ser recomendar a correta e oportunaaplicação das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente.

Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeira incógnita a partir da segunda equação, eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e assim sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima.

A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e esperados resultados.
Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de escalonamento:

Sistema I : Resposta: S = { (3, 5) }
4x – 2y = 2
2x + 3y = 21

Sistema II : Resposta: S = { (-1, 2, 4) }
2 a + 5b + .3c = …20
5 a + 3b – 10c = – 39
…a + ..b + ….c = …..5

Sistema III : Resposta: S = { (2, 3, 5) }
..x + .y .- ..z = …0
..x – 2y + 5z = 21
4x + .y + 4z = 31

Sistemas Lineares IV

Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.
Gabriel Cramer – matemático suíço – 1704/1752.

Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3
…………………………………………….= …
…………………………………………….= …
an1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn

onde os coeficientes a11, a12, …, ann são números reais ou complexos, os termos independentes
b1, b2, … , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, … , xn são as incógnitas do sistema nxn.

Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.


Seja D xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita
xi ( i = 1, 2, 3, … , n), pelos termos independentes b1, b2, … , bn.


A regra de Cramer diz que:
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou seja:
xi = D xi / D

Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
x + 3y – 2z = 3
2x – y + z = 12
4x + 3y – 5z = 6

Para o cálculo dos determinantes a seguir, é conveniente rever o capítulo Determinantes clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

Teremos:

Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.

Observe que resolvemos este mesmo sistema através do método de escalonamento, em Sistemas Lineares III. É conveniente rever aquela solução clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

Agora, resolva este:
2 x + 5y + 3z = 20
5 x + 3y – 10z = – 39
x + y + z = 5

Resposta: S = { (-1, 2, 4) }

Esta matéria foi retirada do site de Paulo Marques

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9 Comentários
  1. foi uma das matérias mais longas e produtivas que ja tive .!!
    mais está bem detalhada muito bom !!!

  2. Rayssa permalink

    Adorei a sua matéria. Está bem detalhada e produtiva. Me ajudou bastante.

  3. As explicações são muito claras e completas! Muito bom!

  4. Amanda Senedezi permalink

    muitooo bom…!!!

  5. Por gentileza, poderiam fazer a resolução dos exercícios propostos?

    • Oi Alex, as minhas postagens são feitas da seguinte forma: eu pesquiso um tema em vários sites de referência e pego as partes mais importantes e relevantes e monto uma postagem acrescentando muitas vezes vídeo aula. Então fica difícil resolver as questões. Vamos aguardar que algum concurseiro veja sua pergunta e resolva, postando no site.
      eder

      • AUDREY CARDOSO permalink

        entendi mais o menos

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